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数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Math461 Step-by-Step Reduction of the Network

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数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Step-by-Step Reduction of the Network

Having seen how to compute $u(x)$ from the effective resistances, we now turn to the systematic computation of these effective resistances. Later we will come back to the introductory example and make the computations explicit.

There are four elementary transformations for the reduction of an electrical network:

1. Deletion of loops. The three points on the very right of the graph form a loop that can be deleted from the network without changing any of the remaining voltages. In particular, any edge that directly connects 0 to 1 can be deleted.
2. Joining serial edges. If two (or more) edges are in a row such that the nodes along them do not have any further adjacent edges, this sequence of edges can be substituted by a single edge whose resistance is the sum of the resistances of the single edges (see Fig. 19.1).
3. Joining parallel edges. Two (or more) edges with resistances $R_1, \ldots, R_n$ that connect the same two nodes can by replaced by a single edge with resistance $R=\left(R_1^{-1}+\ldots+R_n^{-1}\right)^{-1}$ (see Fig. 19.2).
4. Star-triangle transformation (see Exercise 19.5.1). The star-shaped part of a network (left in Fig. 19.9) is equivalent to the triangle-shaped part (right in Fig. 19.9) if the resistances $R_1, R_2, R_3, \widetilde{R}_1, \widetilde{R}_2, \widetilde{R}_3$ satisfy the condition
$$R_i \tilde{R}_i=\delta \quad \text { for any } i=1,2,3,$$
where
$$\delta=R_1 R_2 R_3\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)=\frac{\widetilde{R}_1 \widetilde{R}_2 \widetilde{R}_3}{\widetilde{R}_1+\widetilde{R}_2+\widetilde{R}_3}$$

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A different approach to solving the problem of Example $19.32$ is to use linear algebra instead of network reduction. It is a matter of taste as to which solution is preferable. First generate the transition matrix $p$ of the Markov chain. To this end, enumerate the nodes of the graph from 1 to 12 as in Fig. 19.14. The chain starts at 2 , and we want to compute the probability that it visits 3 before 5 .

Generate the matrix $\bar{p}$ of the chain that is killed at 3 and at 5 and compute $\bar{G}=$ $(I-\bar{p})^{-1}$. By Exercise 19.1.1 (with $A={3,5}, x=2$ and $y=3$ ), the probability of visiting 3 before 5 is $P=\bar{G}(2,3)=\frac{13}{29}$.

概率论与统计代考

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1. 删除循环。图表最右侧的三个点形成一个环路，可以在不改变任何剩余电压的情 况下将其从网络中删除。特别地，可以删除任何直接连接 0 到 1 的边。
2. 连接串行边缘。如果两条 (或更多) 边排成一排，使得沿着它们的节点没有任何 进一步的相邻边，则该边序列可以由单个边代替，该边的电阻是单个边的电阻之 和 (请参阅图 19.1)。
3. 连接平行边。两个 (或更多) 具有电阻的边缘 $R_1, \ldots, R_n$ 连接相同两个节点的 可以用具有电阻的单边代替 $R=\left(R_1^{-1}+\ldots+R_n^{-1}\right)^{-1}$ (见图 19.2) 。
4. 星三角变换 (见练习 19.5.1) 。如果电阻 $R_1, R_2, R_3, \widetilde{R}_1, \widetilde{R}_2, \widetilde{R}_3$ 满足条件
$$R_i \tilde{R}_i=\delta \quad \text { for any } i=1,2,3,$$
在哪里
$$\delta=R_1 R_2 R_3\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)=\frac{\widetilde{R}_1 \widetilde{R}_2 \widetilde{R}_3}{\widetilde{R}_1+\widetilde{R}_2+\widetilde{R}_3}$$

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