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# 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|MATH630 Brownian Motion

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## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Brownian Motion

A priori the paths of a canonical process are of course not continuous since every map $[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ is possible. Hence, it will be important to find out which paths are P-almost surely negligible.

Definition $21.1$ Let $X$ and $Y$ be stochastic processes on $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ with time set $I$ and state space $E . X$ and $Y$ are called
(i) modifications or versions of each other if, for any $t \in I$, we have
$$X_t=Y_t \quad \mathbf{P} \text {-almost surely }$$

(ii) indistinguishable if there exists an $N \in \mathcal{A}$ with $\mathbf{P}[N]=0$ such that
$$\left{X_t \neq Y_t\right} \subset N \quad \text { for all } t \in I .$$
Clearly, indistinguishable processes are modifications of each other. Under certain assumptions on the continuity of the paths, however, the two notions coincide.

## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Construction and Path Properties

Definition $21.8$ A real-valued stochastic process $B=\left(B_t, t \in[0, \infty)\right)$ is called a Brownian motion if

(i) $B_0=0$,
(ii) $B$ has independent, stationary increments (compare Definition 9.7),
(iii) $B_t \sim \mathcal{N}_{0, t}$ for all $t>0$, and
(iv) $t \mapsto B_t$ is $\mathbf{P}$-almost surely continuous.
See Fig. $21.1$ for a computer simulation of a Brownian motion.
Theorem 21.9 There exists a probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ and a Brownian motion $B$ on $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$. The paths of $B$ are a.s. locally Hölder- $\gamma$-continuous for every $\gamma<\frac{1}{2}$

Proof As in Example $14.48$ or Corollary $16.10$ there exists a stochastic process $X$ that fulfills (i), (ii) and (iii). Evidently, $X_t-X_s \stackrel{\mathcal{D}}{=} \sqrt{t-s} X_1 \sim \mathcal{N}_{0, t-s}$ for all $t>s \geq 0$. Thus, for every $n \in \mathbb{N}$, writing $C_n:=\mathbf{E}\left[X_1^{2 n}\right]=\frac{(2 n) !}{2^n n !}<\infty$, we have
$$\mathbf{E}\left[\left(X_t-X_s\right)^{2 n}\right]=\mathbf{E}\left[\left(\sqrt{t-s} X_1\right)^{2 n}\right]=C_n|t-s|^n$$

# 概率论与统计代考

## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Brownian Motion 略不计的。

(i) 彼此的修改或版本，如果，对于任何 $t \in I ，$ 我们有
$$X_t=Y_t \quad \text { P-almost surely }$$
(ii) 不可区分，如果存在 $N \in \mathcal{A}$ 和 $\mathrm{P}[N]=0$ 这样
ｌeft 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|概率论与统计代考Probaility Theory and Statics代写|Construction and Path Properties

(我) $B_0=0$ ，
(二) $B$ 具有独立的固定增量（比较定义 $9.7$ ），
(iii) $B_t \sim \mathcal{N}{0, t}$ 对全部 $t>0$, 以及 (iv) $t \mapsto B_t$ 是 $\mathbf{P}$-几乎肯定是连续的。 见图。21.1用于布朗运动的计算机模拟。 定理 $21.9$ 存在概率空间 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ 和布朗运动 $B$ 在 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$. 的路径 $B$ 就像当地的 Hölder $-\gamma$ – 对每个连紏 $\gamma<\frac{1}{2}$ 证明如示例14.48或推论 $16.10$ 存在一个随机过程 $X$ 满足 (i)、(ii) 和 (iii)。显然， $X_t-X_s \stackrel{\mathcal{D}}{=} \sqrt{t-s} X_1 \sim \mathcal{N}{0, t-s}$ 对全部 $t>s \geq 0$. 因此，对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ，写作 $C_n:=\mathbf{E}\left[X_1^{2 n}\right]=\frac{(2 n) !}{2 n_{n} !}<\infty$ ，我们有
$$\mathbf{E}\left[\left(X_t-X_s\right)^{2 n}\right]=\mathbf{E}\left[\left(\sqrt{t-s} X_1\right)^{2 n}\right]=C_n|t-s|^n$$

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