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# CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|CS4622 Subgraphs and Special Graphs

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## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Subgraphs and Special Graphs

Some special graph structures play an important role in the analysis of complex systems, for example, in biology, where some particular graphs are used to represent, for instance, the evolutionary relationships between species.
Tree
Let $G$ be an undirected connected graph, with $|V|=n$ and $|E|=m$. If $G$ is acyclic, then $G$ is called a tree, and the following definitions are equivalents:

• $G$ is connected and has no cycles;
• $G$ is connected and has $n-1$ edges;
• $G$ has no cycles and has $n-1$ edges.
The vertices of a tree with degree 1 are called leaves, whereas the other vertices are called inner vertices.
A binary tree is a tree where each vertex has at most a degree of 3 .
Let $G=(V, E, w)$ be a weighted graph with $|V|=n$. A minimum spanning tree of $G$ is a set of $n-1$ edges of minimum total weight that form a spanning tree of $G$.
Clique and Coclique
A clique in a graph $G=(V, E)$ is a set $\hat{V} \subseteq V$ of pair-wise adjacent vertices.
The clique number, denoted $\omega(G)$, is defined by the number of vertices in the largest clique in G.
A coclique in a graph $G=(V, E)$ is a set $\bar{V} \subseteq V$ of pair-wise nonadjacent vertices.

## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Trace and Determinant of a Matrix

Let $A$ be an $n \times n$ real matrix. The trace of $A$, denoted $\operatorname{tr}(A)$, is the sum of the diagonal entries of $A$, that is
$$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{i i} .$$
The determinant of $A$, denoted $\operatorname{det}(A)$, can be computed using the following recursive relation:

$$\operatorname{det}(A)=\left{\begin{array}{cc} a_{11}, & \text { if } n=1, \ \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det}\left(M_{i j}\right), & \text { if } n>1, \end{array}\right.$$
where, $M_{i j}$ is the $(n-1) \times(n-1)$ matrix obtained by removing the $i$ th row and the $j$ th column of A .

Let $A$ and $B$ be two $n \times n$ matrices and $k$ a real scalar. The following useful properties of the determinant should be noted:

1. $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$;
2. $\operatorname{det}\left(A^T\right)=\operatorname{det}(A)$;
3. $\operatorname{det}(k A)=k^n \operatorname{det}(A)$;
4. $\operatorname{det}(A) \neq 0$ if and only if $A$ is nonsingular.
If $A$ is an $n \times n$ upper triangular or lower triangular matrix then,
$$\operatorname{det}(A)=\prod_{i=1}^n a_{i i},$$
that is, the determinant of a triangular matrix is the product of the diagonal entries. Therefore, the most practical way to compute a determinant of a matrix $A$ is to decompose it into a product of lower and upper triangular matrices.

## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Subgraphs and Special Graphs

• $G$ 连接且没有循环；
• $G$ 已连接并具有 $n-1$ 边豚;
• $G$ 没有周期并且有 $n-1$ 边緣。
度为 1 的树的顶点称为叶，而其他顶点称为内部硕点。
二叉树是每个顶点的度数至多为 3 的树。
让 $G=(V, E, w)$ 是一个加权图 $|V|=n$. 的最小生成树 $G$ 是一组 $n-1$ 形成生成树的最小总权重边 $G$.
Clique 和 Coclique
图中的一个团 $G=(V, E)$ 是 $一$ 组 $\hat{V} \subseteq V$ 成对相邻的顶点。
团号，记为 $\omega(G)$ ，由 $\mathrm{G}$ 中最大团中的顶点数定义。
图中的团团 $G=(V, E)$ 是一组 $\bar{V} \subseteq V$ 成对的不相邻页点。

## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Trace and Determinant of a Matrix

$$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{i i} .$$

$\$ \$$loperatorname {\operatorname{det}}(A)=\backslash left {$$
a_{11}, \quad \text { if } n=1, \quad \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det}\left(M_{i j}\right), \quad \text { if } n>1,
$$、正确的。 \ \$$

1. $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$;
2. $\operatorname{det}\left(A^T\right)=\operatorname{det}(A)$;
3. $\operatorname{det}(k A)=k^n \operatorname{det}(A)$;
4. $\operatorname{det}(A) \neq 0$ 当且仅当 $A$ 是非奇异的。
如果 $A$ 是 个 $n \times n$ 上三角或下三角矩阵，然后，
$$\operatorname{det}(A)=\prod_{i=1}^n a_{i i},$$
也就是说，三角矩阵的行列式是对角线元表的乘积。因此，计算矩阵行列式的最实用方法 $A$ 就是把它分解成下三角矩阵和上 三角矩斩的乘积。

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。