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# CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|CS6250 Spectral Theory and Walks

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## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Spectral Theory and Walks

In this section, we will present some results relating spectral theory and walks and distance parameters in graphs.
Let $A$ denote the adjacency matrix of a graph $G=(V, E)$ with $|V|=n$, then the following holds:

• for $k=0,1, \ldots$, the entry $a_{i j}$ of the matrix $A^k$ is the number of walks of length $k$ from vertex $v_i$ to vertex $v_j$;
• $a_{i i}^2=\operatorname{deg}\left(v_i\right)$
• the number of edges of $G$ is given by $|E|=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \operatorname{deg}\left(v_i\right)=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(A^2\right)$.
• if $A$ has $r$ distinct eigenvalues, then
$$\operatorname{diam}(G) \leq r-1,$$
where $\operatorname{diam}(G)$ denotes the diameter of graph $G$.

## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Tree

Theorem $3.5$
Let $0=\lambda_1(L) \leq \lambda_2(L) \leq \cdots \leq \lambda_n(L)$ be the eigenvalues of the Laplace matrix, $L$, associated to a graph $G$. Then, the number, $N$, of spanning trees of $G$ is given by,
$$N=\frac{\prod_{i=2}^n \lambda_i(L)}{n} .$$
Let $G=(V, E)$, with $|V|=n$, be a tree and $\lambda_2(L) \leq \cdots \leq \lambda_n(L)$ its corresponding non-zero Laplace eigenvalues. Then, the average distance between distinct vertices of $G$, denoted $\bar{\rho}(G)$, is defined by
$$\bar{\rho}(G)=\frac{2}{n-1} \sum_{i=2}^n \frac{1}{\lambda_i(L)}$$

## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Spectral Theory and Walks

• 为了 $k=0,1, \ldots, \lambda 口 a_{i j}$ 矩阵的 $A^k$ 是 length 的步数 $k$ 从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$;
• $a_{i i}^2=\operatorname{deg}\left(v_i\right)$
• 的边数 $G$ 是 (谁) 给的 $|E|=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \operatorname{deg}\left(v_i\right)=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(A^2\right)$.
• 如果 $A$ 有 $r$ 不同的特征值，然后
$$\operatorname{diam}(G) \leq r-1,$$
在哪里 $\operatorname{diam}(G)$ 表示图形的直径 $G$.

## CS代写|计算机网络代写Computer Networking代考|Tree

$$N=\frac{\prod_{i=2}^n \lambda_i(L)}{n} .$$

$$\bar{\rho}(G)=\frac{2}{n-1} \sum_{i=2}^n \frac{1}{\lambda_i(L)}$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。