如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MA58400这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。
代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。
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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Special Progressions
Another interesting application of quadratic reciprocity is that it can be used to show there exist infinitely many primes in certain arithmetic progressions. In the next two exercises, we imitate Euclid’s proof for the existence of an infinite number of primes to show that there are infinitely many primes in the following two arithmetic progressions, $4 k+1$ and $8 k+7$.
Exercise 7.5.1 Show that there are infinitely many primes of the form $4 k+1$.
Exercise 7.5.2 Show that there are infinitely many primes of the form $8 k+7$.
The results we have just derived are just a special case of a theorem proved by Dirichlet. Dirichlet proved that if $l$ and $k$ are coprime integers, then there must exist an infinite number of primes $p$ such that $p \equiv l$ $(\bmod k)$. What is interesting about these two exercises, however, is the fact that we used a proof similar to Euclid’s proof for the existence of an infinite number of primes. An obvious question to ask is whether questions about all arithmetic progressions can be solved in a similar fashion.
The answer, sadly, is no. However, not all is lost. It can be shown that if $l^2 \equiv 1(\bmod k)$, then we can apply a Euclid-type proof to show there exist an infinite number of primes $p$ such that $p \equiv l(\bmod k)$. (See Schur [S]. For instance, Exercises 1.2.6 and 5.6.10 give Euclid-type proofs for $p \equiv 1$ $(\bmod k)$ using cyclotomic polynomials.) Surprisingly, the converse of this statement is true as well. The proof is not difficult, but involves some Galois Theory. It is due to Murty $[\mathrm{Mu}]$.
We can restate our two previous exercises as follows:
(1) Are there infinitely many primes $p$ such that $p \equiv 1(\bmod 4)$ ?
(2) $p \equiv 7(\bmod 8)$ ?
From what we have just discussed, we observe that we can indeed apply a Euclid-type proof since $1^2 \equiv 1(\bmod 4)$ and $7^2 \equiv 1(\bmod 8)$.
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s Unit Theorem
Let $K$ be a number field and $\mathcal{O}_K$ its ring of integers. An element $\alpha \in \mathcal{O}_K$ is called a unit if $\exists \beta \in \mathcal{O}_K$ such that $\alpha \beta=1$. Evidently, the set of all units in $\mathcal{O}_K$ forms a multiplicative subgroup of $K^*$, which we will call the unit group of $K$.
In this chapter, we will prove the following fundamental theorem, which gives an almost complete description of the structure of the unit group of $K$, for any number field $K$.
Theorem (Dirichlet’s Unit Theorem) Let $U_K$ be the unit group of $K$. Let $n=[K: \mathbb{Q}]$ and write $n=r_1+2 r_2$, where, as usual, $r_1$ and $2 r_2$ are, respectively, the number of real and nonreal embeddings of $K$ in $\mathbb{C}$. Then there exist fundamental units $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r$, where $r=r_1+r_2-1$, such that every unit $\varepsilon \in U_K$ can be written uniquely in the form
$$
\varepsilon=\zeta \varepsilon_1^{n_1} \cdots \varepsilon_r^{n_r},
$$
where $n_1, \ldots, n_r \in \mathbb{Z}$ and $\zeta$ is a root of unity in $\mathcal{O}_K$. More precisely, if $W_K$ is the subgroup of $U_K$ consisting of roots of unity, then $W_K$ is finite and cyclic and $U_K \simeq W_K \times \mathbb{Z}^r$.
代数数论代写
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Special Progressions
二次互易律的另一个有趣的应用是它可以用来证明在某些算术级数中存在无限多个嗉数。在接下来的两个习题 中，我们模仿欧几里德对存在无限多个溸数的证明，来证明以下两个等差级数中存在无限多个嫊数， $4 k+1$ 和 $8 k+7$.
练习 7.5.1 证明存在无限多个如下形式的嗉数 $4 k+1$.
练习 7.5.2 证明有无穷多个形如 $8 k+7$.
我们刚才推导的结果只是狄利克雷证明的一个定理的一个特例。狄利克雷证明如果l和 $k$ 是互质整数，那么一定 存在无穷多个溸数 $p$ 这样 $p \equiv l(\bmod k)$. 然而，这两个练习的有趣之处在于，我们使用了类似于欧几里得对存 在无限多个溸数的证明。一个明显的问题是是否可以用类似的方式解决有关所有算术级数的问题。
遗憾的是，答案是否定的。然而，并非所有都丟失了。可以证明，如果 $l^2 \equiv 1(\bmod k)$ ，然后我们可以应用欧 几里德类型的证明来证明存在无限多个䋏数 $p$ 这样 $p \equiv l(\bmod k)$. (参见 Schur [S]。例如，练习 1.2.6 和 5.6.10 给出了 Euclid 类型的证明 $p \equiv 1(\bmod k)$ 使用分圆多项式。) 令人惊讶的是，这个陈述的反面也是正 确的。证明并不难，但涉及到一些伽罗瓦定理。这是由于 Murty[Mu].
我们可以重述我们之前的两个练习如下:
(1) 是否存在无穷多个溸数 $p$ 这样 $p \equiv 1(\bmod 4)$ ?
(2) $p \equiv 7(\bmod 8)$ ?
从我们刚才的讨论中，我们观察到我们确实可以应用欧几里德类型的证明，因为 $1^2 \equiv 1(\bmod 4)$ 和 $7^2 \equiv 1(\bmod 8)$
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s Unit Theorem
让 $K$ 是一个数字字段和 $\mathcal{O}_K$ 它的整数环。一个元素 $\alpha \in \mathcal{O}_K$ 被称为一个单位，如果 $\exists \beta \in \mathcal{O}_K$ 这样 $\alpha \beta=1$. 显 然，所有单元的集合 $\mathcal{O}_K$ 形成一个乘法子群 $K^*$ ，我们称之为单位群 $K$.
在本章中，我们将证明以下基本定理，它几乎完整地描述了单位群的结构 $K$ ，对于任何数字字段 $K$.
定理 (狄利克雷单位定理) 让 $U_K$ 是单位群 $K$. 让 $n=[K: \mathbb{Q}]$ 和写 $n=r_1+2 r_2$ ，和往常一样, $r_1$ 和 $2 r_2$ 分别是 真实和非真实嵌入的数量 $K$ 在 $\mathbb{C}$. 那么存在基本单位 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r$ ，在哪里 $r=r_1+r_2-1$ ，这样每个单元 $\varepsilon \in U_K$ 可以唯一地写成这样的形式
$$
\varepsilon=\zeta \varepsilon_1^{n_1} \cdots \varepsilon_r^{n_r},
$$
在哪里 $n_1, \ldots, n_r \in \mathbb{Z}$ 和 $\zeta$ 是团结的根源 $\mathcal{O}_K$. 更准确地说，如果 $W_K$ 是的子群 $U_K$ 由单位根组成，那么 $W_K$ 是 有限的和循环的，并且 $U_K \simeq W_K \times \mathbb{Z}^r$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。