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# 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|MATH591 Dirichlet’s L-Functions

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s L-Functions

Let $m$ be a natural number and $\chi$ a Dirichlet character $\bmod m$. That is, $\chi$ is a homomorphism
$$\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^* \rightarrow \mathbb{C}^* .$$
We extend the definition of $\chi$ to all natural numbers by setting
$$\chi(a)= \begin{cases}\chi(a \bmod m) & \text { if }(a, m)=1, \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}$$
Now define the Dirichlet $L$-function:
$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .$$
Exercise 10.3.1 Show that $L(s, \chi)$ converges absolutely for $\operatorname{Re}(s)>1$.
Exercise 10.3.2 Prove that
$$\left|\sum_{n \leq x} \chi(n)\right| \leq m .$$
Exercise 10.3.3 If $\chi$ is nontrivial, show that $L(s, \chi)$ extends to an analytic function for $\operatorname{Re}(s)>0$.
Exercise 10.3.4 For $\operatorname{Re}(s)>1$, show that
$$L(s, \chi)=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Arithmetic Progressions

In this section we will establish the infinitude of primes $p \equiv a(\bmod m)$ for any $a$ coprime to $m$.

Lemma 10.4.1 Let $\left{a_n\right}$ be a sequence of nonnegative numbers. There exists a $\sigma_0 \in \mathbb{R}$ (possibly infinite) such that
$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$$
converges for $\sigma>\sigma_0$ and diverges for $\sigma<\sigma_0$. Moreover, if $s \in \mathbb{C}$, with $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$, then the series converges uniformly in $\operatorname{Re}(s) \geq \sigma_0+\delta$ for any $\delta>0$ and
$$f^{(k)}(s)=(-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\log n)^k}{n^s}$$
for $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$. ( $\sigma_0$ is called the abscissa of convergence of the (Dirichlet) series $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$.)

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s L-Functions

$$\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^* \rightarrow \mathbb{C}^* .$$

$$\chi(a)={\chi(a \bmod m) \quad \text { if }(a, m)=1,0 \quad \text { otherwise }$$

$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .$$

$$\left|\sum_{n \leq x} \chi(n)\right| \leq m .$$

$$L(s, \chi)=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Arithmetic Progressions

$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$$

$$f^{(k)}(s)=(-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\log n)^k}{n^s}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。