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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 General Procedures for the Construction of Iterative Methods

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|General Procedures for the Construction of Iterative Methods

Let a nonsingular $n \times n$ matrix $A$ be given, and a system of linear equations
$$A x=b$$
with the exact solution $x:=A^{-1} b$. We consider iterative methods of the form [cf. Chapter 5$]$
$$x^{(i+1)}=\Phi\left(x^{(i)}\right), \quad i=0,1, \ldots .$$
With the help of an arbitrary nonsingular $n \times n$ matrix $B$ such iteration algorithms can be obtained from the equation
$$B x+(A-B) x=b,$$
by putting
$$B x^{(i+1)}+(A-B) x^{(i)}=b,$$
or solved for $x^{(i+1)}$,
(8.1.4) $\quad x^{(i+1)}=x^{(i)}-B^{-1}\left(A x^{(i)}-b\right)=\left(I-B^{-1} A\right) x^{(i)}+B^{-1} b$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Convergence Theorems

The iterative methods considered in (8.1.3), (8.1.4) produce from each initial vector $x^{(0)}$ a sequence of vectors $\left{x^{(i)}\right}_{i=0,1, \ldots .}$. We now call the method convergent if for all initial vectors $x^{(0)}$ this sequence $\left{x^{(i)}\right}_{i=0,1, \ldots .}$ converges toward the exact solution $x=A^{-1} b$. By $\rho(C)$ we again denote in the following the spectral radius [see Section 6.9] of a matrix $C$. We can then state the following convergence criterion:
(8.2.1) Theorem.
(a) The method (8.1.3) converges if and only if $\rho\left(I-B^{-1} A\right)<1$.
(b) It is sufficient for convergence of $(8.1 .3)$ that $\operatorname{lub}\left(I-B^{-1} A\right)<1$. Here $\operatorname{lub}(\cdot)$ can be taken relative to any norm.
PROOF. (a): For the error $f_i:=x^{(i)}-x$, from
$$\begin{gathered} x^{(i+1)}=\left(I-B^{-1} A\right) x^{(i)}+B^{-1} b, \ x=\left(I-B^{-1} A\right) x+B^{-1} b, \end{gathered}$$
we immediately obtain by subtraction the recurrence formula
$$f_{i+1}=\left(I-B^{-1} A\right) f_i,$$
or
$$f_i=\left(I-B^{-1} A\right)^i f_0, \quad i=0,1, \ldots$$

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|General Procedures for the Construction of Iterative Methods

$$A x=b$$

$$x^{(i+1)}=\Phi\left(x^{(i)}\right), \quad i=0,1, \ldots .$$

$$B x+(A-B) x=b,$$

$$B x^{(i+1)}+(A-B) x^{(i)}=b,$$

$$\text { (8.1.4) } \quad x^{(i+1)}=x^{(i)}-B^{-1}\left(A x^{(i)}-b\right)=\left(I-B^{-1} A\right) x^{(i)}+B^{-1} b$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Convergence Theorems

(8.1.3)、(8.1.4) 中考虑的迭代方法从每个初始向量产生 $x^{(0)}$ 向量序列
\left 缺少或无法识别的分隔符 . 如果对于所有初始向量，我们现在称该方法收敛 $x^{(0)}$ 这个序 列 \left 缺少或无法识别的分隔符 收敛于精确解 $x=A^{-1} b$. 经过 $\rho(C)$ 我们在下面再次表示 矩阵的光谱半径 [见第 $6.9$ 节] C. 然后我们可以陈述以下收敛准则:
(8.2.1) 定理。
(a) 方法 (8.1.3) 收敛当且仅当 $\rho\left(I-B^{-1} A\right)<1$.
(b) 足以收敛 (8.1.3)那lub $\left(I-B^{-1} A\right)<1$. 这里lub $(\cdot)$ 可以相对于任何规范采取。

$$x^{(i+1)}=\left(I-B^{-1} A\right) x^{(i)}+B^{-1} b, x=\left(I-B^{-1} A\right) x+B^{-1} b,$$

$$f_{i+1}=\left(I-B^{-1} A\right) f_i$$

$$f_i=\left(I-B^{-1} A\right)^i f_0, \quad i=0,1, \ldots$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。