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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH402 Frobenius’s theorem and the octonions

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Frobenius’s theorem and the octonions

Frobenius’s theorem and the octonions. The quaternions are very special in the sense that they’re the only finite-dimensional division algebra over $\mathbf{R}$ other than $\mathbf{R}$ itself and $\mathbf{C}$. This theorem was proved by Frobenius in 1877.

A division algebra over the real numbers $R$ is a division ring (skew field) that has the reals as a subfield. Its dimension is the dimension it has as a vector space over $\mathbf{R}$.

There is also an eight-dimensional non-associative algebra over the real numbers called the octonions, O. Octonions were discovered by John T. Graves in 1843. Although O is not associative, it does satisfy weaker associativity identities when two of the three variables are the same: $x(x y)=(x x) y, x(y y)=(x y) y$, and $(x y) x=x(y x)$. It also satisfies the Moufang identies: $z(x(z y))=((z x) z) y, x(z(y z))=((x z) y) z,(z x)(y z)=(z(x y)) z$, and $(z x)(y z)=z((x y) z)$. Furthermore $\mathbf{O}$ has a norm.
Octonions over $\mathbf{R}$ are a special case of a Cayley algebra over a field.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|A matrix representation for H

A matrix representation for $\mathbf{H}$. There are various matrix representations for $\mathbf{H}$. This one will make $\mathbf{H}$ a subring of the real matrix ring $M_4(\mathbf{R})$. We’ll represent 1 by the identity matrix, and $i, j$, and $k$ by three other matrices which, you can verify, satisfy $i^2=j^2=k^2=-1$ and $i j=k, j k=i, k i=j$.
$$\begin{array}{r} 1 \leftrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad i \leftrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \ j \leftrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad k \leftrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}$$
Then a generic quaternion $a+b i+c j+d k$ corresponds to the matrix
$$\left[\begin{array}{cccc} a & -b & -c & -d \ b & a & -d & c \ c & d & a & -b \ d & -c & b & a \end{array}\right]$$

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Frobenius’s theorem and the octonions

Frobenius 定理和八元数。四元数非常特殊，因为它们是唯一的有限维除法代数 $\mathbf{R}$ 以外 $\mathbf{R}$ 本身和 $\mathbf{C}$. 该定理于 1877 年由 Frobenius 证明。

$x(x y)=(x x) y, x(y y)=(x y) y ，$ 和 $(x y) x=x(y x)$. 它还满足谋方恒等式:
$z(x(z y))=((z x) z) y, x(z(y z))=((x z) y) z,(z x)(y z)=(z(x y)) z ， \quad$ 和 $(z x)(y z)=z((x y) z)$. 此外 $\mathbf{O}$ 有一个规范。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|A matrix representation for $\mathrm{H}$

$$\left[\begin{array}{lllllllllllll} a & -b & -c & -d b & a & -d & c c & d & a & -b d & -c & b & a \end{array}\right]$$

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