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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Math461 Hartman–Wintner Theorem

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Hartman–Wintner Theorem

The goal of this section is to prove the law of the iterated logarithm for i.i.d. centered square integrable random variables $X_n, n \in \mathbb{N}$, that goes back to Hartman and Wintner (see [69]). For the special case of Rademacher random variables, the upper bound was found earlier by Khinchin in 1923 (see [97]).

Theorem 22.11 (Hartman-Wintner, law of the iterated logarithm) Let $X_1, X_2, \ldots$ be i.i.d. real random variables with $\mathbf{E}\left[X_1\right]=0$ and $\operatorname{Var}\left[X_1\right]=1$. Let $S_n=X_1+\ldots+X_n, n \in \mathbb{N}$. Then
$$\limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{\sqrt{2 n \log \log n}}=1 \quad \text { a.s. }$$

The strategy of the proof is to embed the partial sums $S_n$ of the random variables in a Brownian motion and then use the law of the iterated logarithm for Brownian motion. The Skorohod embedding theorem ensures that this works. We follow the exposition in [39, Section 8.8].

Proof By Corollary 22.7, on a suitable probability space there exists a filtration $\mathbb{F}$, a Brownian motion $B$ that is an $\mathbb{F}$-martingale, and stopping times $\tau_1 \leq \tau_2 \leq \ldots$ such that $\left(S_n\right){n \in \mathbb{N}} \stackrel{\mathcal{D}}{=}\left(B{\tau_n}\right){n \in \mathbb{N}}$. Furthermore, the $\left(\tau_n-\tau{n-1}\right){n \in \mathbb{N}}$ are i.i.d. with $\mathbf{E}\left[\tau_n-\tau{n-1}\right]=\operatorname{Var}\left[X_1\right]=1$.

By the law of the iterated logarithm for Brownian motion (see Theorem 22.1), we have
$$\limsup {t \rightarrow \infty} \frac{B_t}{\sqrt{2 t \log \log t}}=1 \quad \text { a.s. }$$ Hence, it is enough to show that $$\limsup {t \rightarrow \infty} \frac{\mid B_t-B_{\tau_{\lfloor t\rfloor} \mid}}{\sqrt{2 t \log \log t}}=0 \quad \text { a.s. }$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Cramér’s Theorem

Let $X_1, X_2, \ldots$ be i.i.d. with $\mathbf{P}{X_i}=\mathcal{N}{0,1}$. Then, for every $x>0$,
$$\mathbf{P}\left[S_n \geq x n\right]=\mathbf{P}\left[X_1 \geq x \sqrt{n}\right]=1-\Phi(x \sqrt{n})=\left(1+\varepsilon_n\right) \frac{1}{x \sqrt{2 \pi n}} e^{-n x^2 / 2},$$
where $\varepsilon_n \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$ (by Lemma 22.2). Taking logarithms, we get
$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \mathbf{P}\left[S_n \geq x n\right]=-\frac{x^2}{2} \quad \text { for every } x>0 .$$
It might be tempting to believe that a central limit theorem could be used to show (23.4) for all centered i.i.d. sequences $\left(X_i\right)$ with finite variance. However, in general, the limit might be infinite or might be a different function of $x$, as we will show below. The moral is that large deviations depend more subtly on the tails of the distribution of $X_i$ than the average-sized fluctuations do (which are determined by the variance only). The following theorem shows this for Bernoulli random variables.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Hartman-Wintner Theorem

$$\limsup {n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{\sqrt{2 n \log \log n}}=1 \quad \text { a.s. }$$ 证明的策略是嵌入部分和 $S_n$ 布朗运动中的随机变量，然后使用布朗运动的迭代对数定律。Skorohod 嵌入定理确保这有效。我们 道循 [39，第 $8.8$ 节] 中的说明。 由推论 $22.7$ 证明，在适当的概率空间上存在过㠊 $\left(S_n\right) n \in \mathbb{N} \stackrel{\mathcal{D}}{=}\left(B \tau_n\right) n \in \mathbb{N}$. 此外， $\left(\tau_n-\tau n-1\right) n \in \mathbb{N} 与 \mathbf{E}\left[\tau_n-\tau n-1\right]=\operatorname{Var}\left[X_1\right]=1$. 根据布朗运动的逘代对数定律（见定理 22.1），我们有 $$\lim \sup t \rightarrow \infty \frac{B_t}{\sqrt{2 t \log \log t}}=1 \quad \text { a.s. }$$ 因此，足以证明 $$\lim \sup t \rightarrow \infty \frac{\mid B_t-B{\tau \mid t] \mid}}{\sqrt{2 t \log \log t}}=0 \quad \text { a.s. }$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Cramér’s Theorem

$$\mathbf{P}\left[S_n \geq x n\right]=\mathbf{P}\left[X_1 \geq x \sqrt{n}\right]=1-\Phi(x \sqrt{n})=\left(1+\varepsilon_n\right) \frac{1}{x \sqrt{2 \pi n}} e^{-n x^2 / 2},$$

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \mathbf{P}\left[S_n \geq x n\right]=-\frac{x^2}{2} \quad \text { for every } x>0 .$$

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