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# 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|MATH393 Maximality of ⟨𝑔(𝑥)⟩

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Example $36.8$ (Non-example). Consider $x^2-1 \in \mathbb{R}[x]$. We’ll show that the ideal $\left\langle x^2-1\right\rangle$ is not maximal in $\mathbb{R}[x]$ by finding an ideal $A$ that is strictly between $\left\langle x^2-1\right\rangle$ and $\mathbb{R}[x]$; i.e., $\left\langle x^2-1\right\rangle \subsetneq A \subsetneq \mathbb{R}[x]$. Noting that $x^2-1$ factors as $x^2-1=(x+1) \cdot(x-1)$, we’ll let $A=\langle x+1\rangle$.

First, we’ll show that $\left\langle x^2-1\right\rangle \subsetneq A$. If $\alpha(x) \in\left\langle x^2-1\right\rangle$, then $\alpha(x)=\left(x^2-1\right) \cdot q(x)$ for some $q(x) \in \mathbb{R}[x]$. Then $\alpha(x)=((x+1) \cdot(x-1)) \cdot q(x)=(x+1) \cdot((x-1) \cdot q(x))$, so that $\alpha(x)$ is a multiple of $x+1$; i.e., $\alpha(x) \in A$. Hence, $\left\langle x^2-1\right\rangle \subseteq A$. Moreover, $x+1$ is a multiple of $x+1$, but not a multiple of $x^2-1$. Therefore, $x+1 \in A$, but $x+1 \notin\left\langle x^2-1\right\rangle$. This show that $\left\langle x^2-1\right\rangle \neq A$, so that $\left\langle x^2-1\right\rangle \subsetneq A$.

Certainly, $A \subseteq \mathbb{R}[x]$. But $A \neq \mathbb{R}[x]$, as $1 \in \mathbb{R}[x]$ but $1 \notin A$. (Note that the only constant polynomial in $A=\langle x+1\rangle$ is 0.) Thus, we obtain $A \subsetneq \mathbb{R}[x]$. Therefore, we find that $\left\langle x^2-1\right\rangle \subsetneq A \subsetneq \mathbb{R}[x]$, so that $A=\langle x+1\rangle$ is an ideal that is strictly between $\left\langle x^2-1\right\rangle$ and $\mathbb{R}[x]$. We conclude that $\left\langle x^2-1\right\rangle$ is not maximal. The picture below illustrates these set inclusions:

Proof know-how. To show that $M \subsetneq A$, we must show that $M \subseteq A$ and $M \neq A$. Showing $M \subseteq A$ can be done in the familiar manner: Consider an element $m \in M$ and show that $m \in A$. To show that $M \neq A$ (i.e., $M$ and $A$ are different sets), one approach is to find an element $a \in A$ such that $a \notin M$. In Example 36.8, for instance, we showed that $\left\langle x^2-1\right\rangle \neq A$ by showing that $x+1 \in A$, but $x+1 \notin\left\langle x^2-1\right\rangle$.

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Big picture stuff

By using the contrapositive of its first statement, Theorem $36.14$ can be restated as:
$$\langle g(x)\rangle \text { is maximal in } F[x] \text { if and only if } g(x) \text { is unfactorable. }$$
Exercise $# 5$ at the end of this chapter is about the ideal $\langle n\rangle$ (or $n \mathbb{Z}$ ) in $\mathbb{Z}$. It states the following:
$\langle n\rangle$ is maximal in $\mathbb{Z}$ if and only if $n$ is prime.
Notice how these two statements are essentially the same. This is yet another instance of the structural similarity between the ring of integers $\mathbb{Z}$ and the polynomial ring $F[x]$ where $F$ is a field.

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Maximality of $\langle g(x)\rangle$

$A=\langle x+1\rangle$ 为 0 。) 因此，我们得到 $A \subsetneq \mathbb{R}[x]$. 因此，我们发现 $\left\langle x^2-1\right\rangle \subsetneq A \subsetneq \mathbb{R}[x]$, 以便 $A=\langle x+1\rangle$ 是严格介于两者之间的理想 $\left\langle x^2-1\right\rangle$ 和 $\mathbb{R}[x]$. 我们的结论是 $\left\langle x^2-1\right\rangle$ 不是最大的。下 图说明了这些套装内含物:

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$\langle g(x)\rangle$ is maximal in $F[x]$ if and only if $g(x)$ is unfactorable.

$\langle n\rangle$ 是最大的 $\mathbb{Z}$ 当且仅当 $n$ 是质数。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。