Posted on Categories:Combinatorics, 数学代写, 组合学

# 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|MA1510 Dual systems of AW-polynomials

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Dual systems of AW-polynomials

Let $\left(A, A^* ;\left{V_i\right}_{i=0}^d,\left{V_i^\right}_{i=0}^d\right.$ ) be an L-system and let $\left{\theta_i\right}_{i=0}^d,\left{\theta_i^\right}_{i=0}^d,\left{\lambda_i\right}_{i=0}^{d-1}$ be the data. Let $v_0, v_1, \ldots, v_d$ be the standard basis and $v_0^, v_1^, \ldots, v_d^$ the dual standard basis. Then there exist constants $b_{i-1}, a_i, c_{i+1} ; b_{i-1}^, a_i^, c_{i+1}^(0 \leq i \leq d)$ such that
$$A v_i=b_{i-1} v_{i-1}+a_i v_i+c_{i+1} v_{i+1} \quad(0 \leq i \leq d),$$

$$A^* v_i^=b_{i-1}^ v_{i-1}^+a_i^ v_i^+c_{i+1}^ v_{i+1}^* \quad(0 \leq i \leq d),$$
where $v_{-1}=v_{d+1}=0, v_{-1}^=v_{d+1}^=0, c_{d+1}=c_{d+1}^=1$, and $b_{-1}, b_{-1}^$ are indeterminate. Note that since we choose the standard basis and the dual standard basis, the following hold:
\begin{aligned} & a_i+b_i+c_i=\theta_0 \ & a_i^+b_i^+c_i^=\theta_0^ \end{aligned}
where $c_0=c_0^=0, b_d=b_d^=0$ (Definition 6.52). Define polynomials $v_i(x), v_i^(x)(-1 \leq$ $i \leq d+1)$ of degree $i$ by $v_{-1}(x)=v_{-1}^(x)=0, v_0(x)=v_0^(x)=1$, and $$\begin{array}{lc} x v_i(x)=b_{i-1} v_{i-1}(x)+a_i v_i(x)+c_{i+1} v_{i+1}(x) & (0 \leq i \leq d) \ x v_i^(x)=b_{i-1}^* v_{i-1}^(x)+a_i^ v_i^(x)+c_{i+1}^ v_{i+1}^*(x) & (0 \leq i \leq d) \end{array}$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Known P- and Q-polynomial schemes

In this section, we give a list of known P- and Q-polynomial schemes $\mathfrak{X}=\left(X,\left{R_i\right}_{0 \leq i \leq d}\right)$ with sufficiently large diameter $d$. We give parameters for principal $T$-modules which are expressed by AW-parameters. Note that the intersection numbers $p_{i, j}^k$ and the Krein numbers $q_{i, j}^k$ of $\mathfrak{X}$ are determined by the principal $T$-modules of $\mathfrak{X}$ (Proposition 2.43). Moreover, the principal $T$-modules of $\mathfrak{X}$ can be described by L-pairs (Proposition 2.43), and L-pairs are given by dual systems of orthogonal polynomials (Remark 6.26). Therefore, by substituting a dual system of orthogonal polynomials in Theorem $6.81$ by AWparameters of Theorem 6.61, we can determine the first eigenmatrix $P=\left(v_j\left(\theta_i\right)\right)$ and the second eigenmatrix $Q=\left(v_j^\left(\theta_i^\right)\right)$ of $\mathfrak{X}$ and $b_i=p_{1, i+1}^i, a_i=p_{1, i}^i, c_i=p_{1, i-1}^i, b_i^=q_{1, i+1}^i$, $a_i^=q_{1, i}^i, c_i^*=q_{1, i-1}^i$

Given an association scheme, it is relatively easy to check whether it is P-polynomial or not. As was discussed in Section 6.1.1, it suffices to check whether the relation $R_1$ defines a distance-regular graph. We can check whether a given P-polynomial scheme becomes a Q-polynomial scheme by the following proposition.

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Dual systems of AW-polynomials

$$A v_i=b_{i-1} v_{i-1}+a_i v_i+c_{i+1} v_{i+1} \quad(0 \leq i \leq d),$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。