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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|MATH393 The Jacobi symbol

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|The Jacobi symbol

Let $a, n$ be integers, where $n$ is positive and odd, so that $n=q_1 \cdots q_k$, where the $q_i$ are odd primes, not necessarily distinct. Then the Jacobi symbol $(a \mid n)$ is defined as
$$(a \mid n):=\left(a \mid q_1\right) \cdots\left(a \mid q_k\right),$$
where $\left(a \mid q_j\right)$ is the Legendre symbol. Note that $(a \mid 1)=1$ for all $a \in \mathbb{Z}$. Thus, the Jacobi symbol essentially extends the domain of definition of the Legendre symbol. Note that $(a \mid n) \in{0, \pm 1}$, and that $(a \mid n)=0$ if and only if $\operatorname{gcd}(a, n)>1$. Also, note that if $a$ is a quadratic residue modulo $n$, then $(a \mid n)=1$; however, $(a \mid n)=1$ does not imply that $a$ is a quadratic residue modulo $n$. The following theorem summarizes the essential properties of the Jacobi symbol.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Computing the Jacobi symbol

Suppose we are given an odd, positive integer $n$, along with an integer $a$, and we want to compute the Jacobi symbol $(a \mid n)$. Theorem $12.8$ suggests the following algorithm:
$t \leftarrow 1$
repeat
$\quad / /$ loop invariant: $n$ is odd and positive
$a \leftarrow a \bmod n$
if $a=0$
$\quad$ if $n=1$ return $t$ else return 0
compute $a^{\prime}, h$ such that $a=2^h a^{\prime}$ and $a^{\prime}$ is odd
if $h \not \equiv(\bmod 2)$ and $n \not \equiv \pm 1(\bmod 8)$ then $t \leftarrow-t$
if $a^{\prime} \not \equiv 1(\bmod 4)$ and $n \not \equiv 1(\bmod 4)$ then $t \leftarrow-t$
$(a, n) \leftarrow\left(n, a^{\prime}\right)$
forever
That this algorithm correctly computes the Jacobi symbol $(a \mid n)$ follows directly from Theorem 12.8. Using an analysis similar to that of Euclid’s algorithm, one easily sees that the running time of this algorithm is $O(\operatorname{len}(a) \operatorname{len}(n))$

## 数学代写数论代写Number Theory代考|The Jacobi symbol

$$(a \mid n):=\left(a \mid q_1\right) \cdots\left(a \mid q_k\right)$$

## 数学代写数论代写Number Theory代考|Computing the Jacobi symbol

$t \leftarrow 1$

$/ /$ 循环不变量: $n$ 是奇怪的和积极的
$a \leftarrow a \bmod n$

$(a, n) \leftarrow\left(n, a^{\prime}\right)$
forever

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。