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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH351 Fourier analysis, Dirichlet characters, and reduction of the theorem

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Fourier analysis, Dirichlet characters, and reduction of the theorem

In what follows we take the abelian group $G$ to be $\mathbb{Z}^*(q)$. Our formulas below involve the order of $G$, which is the number of integers $0 \leq n<$ $q$ that are relatively prime to $q$; this number defines the Euler phifunction $\varphi(q)$, and $|G|=\varphi(q)$.

Consider the function $\delta_{\ell}$ on $G$, which we think of as the characteristic function of $\ell$; if $n \in \mathbb{Z}^*(q)$, then
$$\delta_{\ell}(n)= \begin{cases}1 & \text { if } n \equiv \ell \bmod q, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}$$
We can expand this function in a Fourier series as follows:
$$\delta_{\ell}(n)=\sum_{e \in \hat{G}} \widehat{\delta}{\ell}(e) e(n),$$ where $$\widehat{\delta}{\ell}(e)=\frac{1}{|G|} \sum_{m \in G} \delta_{\ell}(m) \overline{e(m)}=\frac{1}{|G|} \overline{e(\ell)} .$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Dirichlet L-functions

We proved earlier that the zeta function $\zeta(s)=\sum_n 1 / n^s$ could be expressed as a product, namely
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_p \frac{1}{\left(1-p^{-s}\right)}$$

Dirichlet observed an analogue of this formula for the so-called $L$-functions defined for $s>1$ by
$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s},$$
where $\chi$ is a Dirichlet character.

Theorem 2.4 If $s>1$, then
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}=\prod_p \frac{1}{\left(1-\chi(p) p^{-s}\right)},$$
where the product is over all primes.

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Fourier analysis, Dirichlet characters, and reduction of the theorem

$$\delta_{\ell}(n)=\sum_{e \in \hat{G}} \hat{\delta} \ell(e) e(n),$$

$$\hat{\delta} \ell(e)=\frac{1}{|G|} \sum_{m \in G} \delta_{\ell}(m) \overline{e(m)}=\frac{1}{|G|} \overline{e(\ell)}$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Dirichlet L-functions

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_p \frac{1}{\left(1-p^{-s}\right)}$$

$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s},$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}=\prod_p \frac{1}{\left(1-\chi(p) p^{-s}\right)},$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。