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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|Math323 Taylor’s Formula

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Taylor’s Formula

Recall from Lagrange’s MVT that if $f$ is differentiable in an open interval $I$ and $x_0 \in I$, then for every $x \in I$, there exists $\xi_x$ between $x_0$ and $x$ such that
$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(\xi_x\right)\left(x-x_0\right) .$$
Can we say something more if $f$ has higher-order derivatives in a neighbourhood of $x_0$ ?

Suppose $f(x)$ is a polynomial of degree $n \in \mathbb{N}$ and $x_0 \in \mathbb{R}$. Since $f(x)-f\left(x_0\right)$ vanishes at $x=x_0$, we can write
$$f(x)=f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right) f_1(x),$$
where $f_1(x)$ is a polynomial of degree $n-1$. By the same argument, if $n>1$, then $f_1$ can be written as
$$f_1(x)=f_1\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right) f_2(x)$$
where $f_2(x)$ is a polynomial of degree $n-2$. Thus,
$$f(x)=f\left(x_0\right)+f_1\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(x-x_0\right)^2 f_2(x)$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Sufficient Condition for Extremum Points Revisited

Using the second derivative of a function and the Taylor’s formula, now we give another sufficient condition for a critical point to be an extreme point.

Theorem 2.3.25 Suppose $f$ is defined on an interval I and $x_0$ is an interior point of I. Suppose that $x_0$ is a critical point of $f$ and $f$ has continuous second derivative in a neighbourhood of $x_0$. Then the following hold.
(i) If $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$, then $f$ has local maximum at $x_0$. (ii) If $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$, then $f$ has local minimum at $x_0$.
Proof By Taylor’s theorem, there exists an open interval $I_0$ containing $x_0$ such that for every $x \in I_0$, there exists $\xi_x$ between $x_0$ and $x$ such that
$$f(x)-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_x\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2$$
Since $x_0$ is a critical point of $f$ and $f$ is differentiable at $x_0, f^{\prime}\left(x_0\right)=0$. Hence,
$$f(x)-f\left(x_0\right)=\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_x\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2 .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Taylor’s Formula

$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(\xi_x\right)\left(x-x_0\right) .$$

$$f(x)=f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right) f_1(x),$$

$$f_1(x)=f_1\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right) f_2(x)$$

$$f(x)=f\left(x_0\right)+f_1\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(x-x_0\right)^2 f_2(x)$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代㘼|Sufficient Condition for Extremum Points Revisited

(i) 如果 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$ ，然后 $f$ 有局部最大值 $x_0$. (ii) 如果 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ ， 然后 $f$ 有局部最小值 $x_0$. 证明根据泰勒定理，存在一个开区间 $I_0$ 含有 $x_0$ 这样对于每个 $x \in I_0$ ，那里存在 $\xi_x$ 之间 $x_0$ 和 $x$ 这样
$$f(x)-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_x\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2$$

$$f(x)-f\left(x_0\right)=\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_x\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2 .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。