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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MTH309 Dual Bases

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Dual Bases

Suppose that $\mathrm{V}$ is finite dimensional, and let $\mathscr{B}=\left{\mathbf{v}1, \ldots, \mathbf{v}{\mathbf{n}}\right}$ be a basis for $V$. For each $1 \leq \mathrm{i} \leq \mathrm{n}$, we can define a linear functional $\nu_{\mathrm{i}} \in \mathrm{V}^$, by the orthogonality condition $$\nu_{\mathrm{i}}\left(\mathbf{v}{\mathrm{j}}\right)=\delta{\mathrm{i}, \mathrm{j}} \text { for } \mathrm{j}=1, \ldots, \mathrm{n}$$
where $\delta_{i, j}$, known as the Kronecker delta function, is defined by
$$\delta_{i, j}= \begin{cases}1 & \text { if } \mathrm{i}=\mathrm{j} \ 0 & \text { if } \mathrm{i} \neq \mathrm{j}\end{cases}$$
Theorem 3.11 Let $\mathscr{B}=\left{\mathbf{v}1, \ldots, \mathbf{v}{\mathbf{n}}\right}$ be a basis for $\mathrm{V}$. Then the linear functionals $\nu_1, \ldots, \nu_{\mathrm{n}}$ defined by
$$\nu_{\mathrm{i}}\left(\mathbf{v}{\mathrm{j}}\right)=\delta{\mathrm{i}, \mathrm{j}} \text { for } \mathrm{j}=1, \ldots, \mathrm{n}$$
form a basis for the dual space $\mathrm{V}^$. This basis $\mathscr{B}^*=\left{\nu_1, \ldots, \nu_{\mathrm{n}}\right}$ is called the dual basis for $\overparen{B}$.

Proof. If
$$0=\mathrm{r}1 \nu_1+\cdots+\mathrm{r}{\mathrm{n}} \nu_{\mathrm{n}}$$
where 0 represents the zero linear functional, then we may apply both sides of this to the basis vector $\mathbf{v}{\mathrm{i}}$, to get $$\mathbf{0}=0\left(\mathbf{v}{\mathrm{i}}\right)=\sum_{\mathrm{j}} \mathrm{r}{\mathrm{j}} \nu{\mathrm{j}}\left(\mathbf{v}{\mathrm{i}}\right)=\sum{\mathrm{j}} \mathrm{r}{\mathrm{j}} \delta{\mathrm{i}, \mathrm{j}}=\mathrm{r}_{\mathrm{i}}$$
and so $r_i=0$, for all i. Hence, $\mathscr{B}^*$ is linearly independent.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Reflexivity

If $\mathrm{V}$ is a vector space, then so is the dual space $\mathrm{V}^$. Hence, we may form the double dual space $\mathrm{V}^{ }$, which consists of all linear functionals $\Sigma: V^ \rightarrow F$. In other words, an element $\Sigma$ of $V^{* *}$ is a linear map that assigns a scalar to each linear functional on $\mathrm{V}$.

With this firmly in mind, there is one rather obvious way to obtain an element of $\mathrm{V}^{* }$. Namely, if $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$, consider the map $\overline{\mathbf{v}}: \mathrm{V}^ \rightarrow \mathrm{F}$ defined by
$$\overline{\mathbf{v}}(\mathrm{f})=\mathrm{f}(\mathbf{v})$$
which sends the linear functional $f$ to the scalar $f(v)$. For obvious reasons, this map is called evaluation at $\mathbf{v}$. To see that $\overline{\mathbf{v}}$ is in $\mathrm{V}^{* }$, we must show that it is linear. But if $\mathrm{f}, \mathrm{g} \in \mathrm{V}^$, then
$$\overline{\mathbf{v}}(\mathrm{rf}+\mathrm{sg})=(\mathrm{rf}+\mathrm{sg})(\mathbf{v})=\mathrm{rf}(\mathbf{v})+\mathrm{sg}(\mathbf{v})=\mathrm{r} \overline{\mathbf{v}}(\mathrm{f})+\mathrm{s} \overline{\mathbf{v}}(\mathrm{g})$$
and so $\overline{\mathbf{v}}$ is indeed linear.
Since evaluation at $\mathbf{v}$ is in $\mathrm{V}^{* }$ for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$, we can define a map $\tau: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V}^{ }$ by $$\tau(\mathbf{v})=\overline{\mathbf{v}}$$ This is called the canonical map (or the natural map) from $\mathrm{V}$ to $\mathrm{V}^{ *}$. It is injective and, in the finite dimensional case, it is also surjective.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Dual Bases

$$\nu_{\mathrm{i}}(\mathbf{v} \mathrm{j})=\delta \mathrm{i}, \mathrm{j} \text { for } \mathrm{j}=1, \ldots, \mathrm{n}$$

$$\delta_{i, j}={1 \quad \text { if } \mathrm{i}=\mathrm{j} 0 \quad \text { if } \mathrm{i} \neq \mathrm{j}$$

$$\nu_{\mathrm{i}}(\mathrm{vj})=\delta \mathrm{i}, \mathrm{j} \text { for } \mathrm{j}=1, \ldots, \mathrm{n}$$

\left 缺少或无法识别的分隔符 称为对偶基础 $\widehat{B}$.

$$0=\mathrm{r} 1 \nu_1+\cdots+\mathrm{rn} \nu_{\mathrm{n}}$$

$$\mathbf{0}=0(\mathbf{v i})=\sum_{\mathrm{j}} \mathrm{rj} \nu \mathrm{j}(\mathbf{v i})=\sum j \mathrm{j} j \delta \mathrm{i}, \mathrm{j}=\mathrm{r}_{\mathrm{i}}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Reflexivity

. 因此，我们可以形成双

$$\overline{\mathbf{v}}(\mathrm{f})=\mathrm{f}(\mathbf{v})$$

$$\tau(\mathbf{v})=\overline{\mathbf{v}}$$

## MATLAB代写

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