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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MTH309 Linear Transformations

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Linear Transformations

Loosely speaking, a linear transformation is a function from one vector space to another that preserves the vector space operations. Let us be more precise.

Definition Let $\mathrm{V}$ and $\mathrm{W}$ be vector spaces over the same field $\mathrm{F}$. A function $\tau: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}$ is said to be a linear transformation if
$$\tau(\mathbf{r u}+\mathrm{sv})=\mathrm{r} \tau(\mathbf{u})+\mathrm{s} \tau(\mathbf{v})$$
for all scalars $\mathrm{r}, \mathrm{s} \in \mathrm{F}$ and vectors $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathrm{V}$. A linear transformation $\tau: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V}$ is called a linear operator on V. The set of all linear transformations from $\mathrm{V}$ to $\mathrm{W}$ is denoted by $\mathcal{L}(\mathrm{V}, \mathrm{W})$, and the set of all linear operators on $\mathrm{V}$ is denoted by $\mathcal{L}(\mathrm{V})$.

We should mention that some authors use the term linear operator for any linear transformation from $\mathrm{V}$ to $\mathrm{W}$.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Kernel and Image of a Linear Transformation

There are two very important vector spaces associated with a linear transformation $\tau$ from $\mathrm{V}$ to $\mathrm{W}$.
Definition Let $\tau \in \mathcal{L}(\mathrm{V}, \mathrm{W})$. The set
$$\operatorname{ker}(\tau)={\mathbf{v} \in \mathrm{V} \mid \tau(\mathbf{v})=\mathbf{0}}$$
is called the kernel of $\tau$, and the set
$$\operatorname{im}(\tau)={\tau(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in \mathrm{V}}$$
is called the image of $\tau$. The dimension of $\operatorname{ker}(\tau)$ is called the nullity of $\tau$, and is denoted by $\operatorname{null}(\tau)$. The dimension of $\operatorname{im}(\tau)$ is called the rank of $\tau$, and is denoted by $r k(\tau)$. []

It is routine to show that $\operatorname{ker}(\tau)$ is a subspace of $\mathrm{V}$ and $i m(\tau)$ is a subspace of W. Moreover, we have the following.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Linear Transformations

$$\tau(\mathbf{r u}+\mathrm{sv})=\mathbf{r} \tau(\mathbf{u})+\mathrm{s} \tau(\mathbf{v})$$

## 数学代写线性代数代写Linear algebra代考|The Kernel and Image of a Linear Transformation

$$\operatorname{ker}(\tau)=\mathbf{v} \in \mathrm{V} \mid \tau(\mathbf{v})=\mathbf{0}$$

$$\operatorname{im}(\tau)=\tau(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in \mathrm{V}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。