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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MAJ01156 A Glimpse of Fourier Analysis

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考| A Glimpse of Fourier Analysis

This section has a number of axes. We extend the discussion of Fourier series of $2 \pi$-periodic functions we started in section 4.10. We also study Fourier series of functions in $\mathbb{Q}^P(-\pi, \pi)$. Then we take a brief tour through the Fourier transform. Finally we take a last look at the orthogonal polynomials we encountered in section $4.10$.
Fourier Series of $2 \pi$-Periodic Functions
In section $4.10$, we looked at the sequence of partial sums $S_n f$ of a $2 \pi$-periodic function $f$. The first tool we develop is an integral formula for $S_n f$. Using the notation of section $4.10$,
\begin{aligned} S_n f(x) & =\sum_{j=-n}^n \hat{f}(j) e^{i j x}=\sum_{j=-n}^n \frac{1}{2 \pi} e^{i j x} \int_{-\pi}^\pi e^{-i j t} f(t) d t \ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\left(\sum_{j=-n}^n e^{i j(x-t)}\right) f(t) d t \end{aligned}
We define the Dirichlet kernel to be the sequence of functions
$$D_n(x)=\sum_{j=-n}^n e^{i j x}$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Orthogonal Polynomials: One More Time

In section $4.10$, we studied the space $H$ of continuous, square integrable functions with respect to a weight function $\omega$. The inner product we used was given by the formula
$$\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) \overline{g(x)} \omega(x) d x$$
We are now ready to settle a question that could not be answered completely in chapter 4 . What is the smallest Hilbert space that contains the space $H$ ? The answer is now within our reach.

If we define a finite positive measure $\mu$ on the $\sigma$-algebra $\mathcal{L}$ of Lebesgue measurable sets by $d \mu=\omega d \lambda$, where $\lambda$ is Lebesgue measure on $\mathbb{R}$, then the Hilbert space we seek is (or should be, if there is justice) $\mathfrak{Q}^2(\mathbb{R}, \mathcal{L}, \mu)=\mathfrak{Q}^2(\mu)$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ 功能

$$(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .$$

$$(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。