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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MATH1013 Lebesgue Measure on $\mathbb{R}^n$

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Lebesgue Measure on $\mathbb{R}^n$

Lemma 8.4.1 (Urysohn’s lemma). Let $E$ and $F$ be disjoint closed subsets of $\mathbb{R}^n$. Then there exists a continuous function $f: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1]$ such that $f(E)=1$, and $f(F)=0$.

Proof. The functions $g(x)=\operatorname{dist}(x, F)$ and $h(x)=\operatorname{dist}(x, E)$ are continuous and are never simultaneously zero since $E$ and $F$ are closed and disjoint. Furthermore, $g(x)>0$ for every $x \in E$, and $h(x)>0$ for every $x \in F$.
The function $f(x)=\frac{g(x)}{g(x)+h(x)}$ has the stated properties.

Lemma 8.4.2. Let $K$ be a compact subset of an open subset $V$ of $\mathbb{R}^n$. Then there exists an open set $U$ such that $\bar{U}$ is compact and $K \subseteq U \subseteq \bar{U} \subseteq V$.

Proof. For every $x \in K$, there exists a ball $B\left(x, \delta_x\right)$ such that $\overline{B\left(x, \delta_x\right)} \subseteq V$. Since $K$ is compact, and $K \subseteq \cup_{x \in K} B\left(x, \delta_x\right)$, there exists a finite number of points $x_1, \ldots, x_m \in K$ such that $K \subseteq \cup_{i=1}^m B\left(x_i, \delta_{x_i}\right)$. The set $U=\cup_{i=1}^m B\left(x_i, \delta_{x_i}\right)$ satisfies the requirements.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Dicing $\mathbb{R}^n$

For a fixed natural number $k$, consider the following partition of $\mathbb{R}$ :
$$\left[\frac{\nu}{2^k}, \frac{\nu+1}{2^k}\right), v \in \mathbb{Z} .$$
This partitions each interval $[m, m+1)(m \in \mathbb{Z})$ into $2^k$ congruent half-open intervals, each of length $\frac{1}{2^k}$.

The above partition of $\mathbb{R}$ can be employed to partition $\mathbb{R}^n$ into a collection of half-open cubes:
$$\mathcal{S}_k=\left{\sigma=\left[\frac{\nu_1}{2^k}, \frac{\nu_1+1}{2^k}\right) \times \ldots \times\left[\frac{\nu_n}{2^k}, \frac{\nu_n+1}{2^k}\right):\left(\nu_1, \ldots, \nu_n\right) \in \mathbb{Z}^n\right} .$$
Note that, for $\sigma \in \mathcal{S}_k$, $\operatorname{diam}(\sigma)=\sqrt{n} 2^{-k}$ and that if $\sigma$ and $\sigma^{\prime}$ are distinct cubes in $\mathcal{S}_k$, then $\sigma \cap \sigma^{\prime}=\varnothing$

Observe that the half-open unit cube $[0,1) \times \ldots \times[0,1)$ is the union of $2^{n k}$ cubes in $\mathcal{S}k$, that $\mathcal{S}{k+1}$ is a refinement of $\mathcal{S}k$, and that each cube in $\mathcal{S}_k$ is the union of $2^n$ cubes in $\mathcal{S}{k+1}$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Dicing $\mathbb{R}^n$

$$\left[\frac{\nu}{2^k}, \frac{\nu+1}{2^k}\right), v \in \mathbb{Z}$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。