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数学分析Mathematical Analysis MAJ01156这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation
In this section, we prove a large collection of approximation theorems. The highlights include approximating $\mathfrak{Q}^p$ functions by simple functions and continuous functions of compact support. We prove that trigonometric polynomials are dense in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$, which is the last piece of information we need to settle the question of the convergence of Fourier series of functions in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$. The important operation of convoluting functions makes its first debut in this section. Finally, we study approximations by $C^{\infty}$ functions, prove the $C^{\infty}$ version of Urysohn’s lemma, and prove that $\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is dense in $\mathfrak{Q} p\left(\mathbb{R}^n\right)$.
Lemma 8.7.1 (the Tietze extension theorem). Let $K$ be a compact subset of $\mathbb{R}^n$ and let $f: K \rightarrow[0,1]$ be continuous. Then $f$ can be extended to a continuous function $g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$ such that $0 \leq g \leq 1$. If $K$ is contained in an open set $U$, then $g$ can be constructed in such a way that $\operatorname{supp}(g) \subseteq U$.
Proof. Let $W$ be an open set such that $\bar{W}$ is compact and $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$. Let $K_1=$ $f^{-1}([0,1 / 3])$, and $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$. Applying lemma $8.4 .1$ to the closed sets $E=$ $K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$, and $F=K_2$, produces a continuous function $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ such that $g_1(E)=0$, and $g_1(F)=1 / 3$. By construction, $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ on $K$. Applying the same construction to the function $f-g_1$, we can find a function $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ such that $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \leq$ $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ on the set $K$. Continuing this construction yields a sequence of continuous functions $g_i$ on $\mathbb{R}^n$ such that $\operatorname{supp}\left(g_i\right) \subseteq \bar{W}, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \cdots-$ $g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K$. The sequence $G_i=g_1+\ldots+g_i$ is supported in $\bar{W}$ and is Cauchy in the uniform norm on the compact set $\bar{W}$. Therefore $G_i$ converges uniformly to a continuous function $g$. Since $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K, g=f$ on $K$. Because each $G_i$ is supported in $\bar{W} \subseteq U$, so is $g$.
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ Functions
Definition. For Lebesgue measurable functions $f$ and $g$ on $\mathbb{R}^n$, the convolution of $f$ and $g$ is the function
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .
$$
It is clear that if $(f * g)(x)$ is finite, then $(f * g)(x)=(g * f)(x)$. Thus
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .
$$
A variety of conditions can be imposed on $f$ and $g$ to guarantee the finiteness of the integral, at least for a.e. $x \in \mathbb{R}^n$. We take for granted the measurability of the function $f(x-y) g(y)$.
In this subsection, we will limit the functions $f$ and $g$ to be continuous functions of compact support. The reader can look at the section exercises for a slightly expanded discussion of the properties of convolutions.
数学分析代写
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation
在本节中，我们将证明大量的近似定理。亮点包括近似 $\mathfrak{Q}^p$ 功能由简单功能和紧湊型连续功能支持。我们证明三 角多项式在 $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$, 这是我们解决傅里叶级数函数收玫问题所需的最后一条信息 $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$. 卷积函数的 重要操作在本节首次亮相。最后，我们研究近似值 $C^{\infty}$ 函数，证明 $C^{\infty} U r y s o h n$ 引理的版本，并证明 $\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 密集在 $Q p\left(\mathbb{R}^n\right)$.
引理 8.7.1 (Tietze 扩展定理) 。让 $K$ 是一个紧凑的子集 $\mathbb{R}^n$ 然后让 $f: K \rightarrow[0,1]$ 是连续的。然后 $f$ 可以扩展 为连续函数 $g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$ 这样 $0 \leq g \leq 1$. 如果 $K$ 包含在一个开放集中 $U$ ，然后 $g$ 可以这样构造 $\operatorname{supp}(g) \subseteq U$.
证明。让 $W$ 是一个开集使得 $\bar{W}$ 紧凑且 $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$. 让 $K_1=f^{-1}([0,1 / 3])$ ，和 $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$. 应用引理8.4.1到闭集 $E=K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$ ，和 $F=K_2$, 产生连紏函数 $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ 这样 $g_1(E)=0$ ，和 $g_1(F)=1 / 3$. 通过建设， $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq W ，$ 和 $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ 在 $K$. 对函数应用相同的构造 $f-g_1$ ，我们可以找到一个函数 $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ 这样 $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$ ， 和 $0 \leq f-g_1-g_2 \leq\left(\frac{2}{3}\right)^2$ 在片场 $K$. 继续这个构造产生一系列连续函数 $g_i$ 在 $\mathbb{R}^n$ 这样 $\operatorname{supp}\left(g_i\right) \subseteq W, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i} ， \quad$ 和 $0 \leq f-g_1-g_2 \cdots-g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ 在 $K$. 序列 $G_i=g_1+\ldots+g_i$ 支持 $\bar{W}$ 并且是在坚集上的统一范数中的 Cauchy $\bar{W}$. 所以 $G_i$ 一致收玫到一个连续函数 $g$. 自从 $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ 在 $K, g=f$ 在 $K$. 因为每个 $G_i$ 支持 $W \subseteq U$ ，也是 $g$.
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation by $\mathcal{C}^{\infty}$ 功能
定义。对于勒贝格可测函数 $f$ 和 $g$ 在 $\mathbb{R}^n$ ，的卷积 $f$ 和 $g$ 是函数
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y .
$$
很明显，如果 $(f * g)(x)$ 是有限的，那么 $(f * g)(x)=(g * f)(x)$. 因此
$$
(f * g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) g(y) d y=\int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) d y .
$$
可以施加各种条件 $f$ 和 $g$ 保证积分的有限性，至少对于 $a e x \in \mathbb{R}^n$. 我们认为函数的可测量性是理所当然的 $f(x-y) g(y)$
在本小节中，我们将限制功能 $f$ 和 $g$ 得到紧凑支持的连续函数。读者可以查看练习部分，对卷积的性质进行稍微 扩展的讨论。
数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。