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# 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|MATH271 Direct Proof and Counterexample V: Division into Cases and the Quotient-Remainder Theorem

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## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Direct Proof and Counterexample V: Division into Cases and the Quotient-Remainder Theorem

Be especially critical of any statement following the word “obviously.”
-Anna Pell Wheeler, 1883-1966
When you divide 11 by 4 , you get a quotient of 2 and a remainder of 3 .
\begin{aligned} 2 & \leftarrow \text { quotient } \ 4 \longdiv { 1 1 } & \ \frac{8}{3} & \leftarrow \text { remainder } \end{aligned}
Another way to say this is that 11 equals 2 groups of 4 with 3 left over:
The number left over (3) is less than the size of the groups (4) because if 4 or more were left over, another group of 4 could be formed.

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Quotient-Remainder Theorem

For each of the following values of $n$ and $d$, find integers $q$ and $r$ such that $n=d q+r$ and $0 \leq r<d$
a. $n=54, d=4$
b. $n=-54, d=4$
c. $n=54, d=70$
Solution
a. $54=4 \cdot 13+2 ;$ hence $q=13$ and $r=2$.
b. $-54=4 \cdot(-14)+2$; hence $q=-14$ and $r=2$.
c. $54=70 \cdot 0+54$; hence $q=0$ and $r=54$.
div and mod
A number of computer languages have built-in functions that enable you to compute values of the quotients and remainders for the quotient-remainder theorem. In Python $n$ div $d$ is written $n / / d$ and $n \bmod d$ is written $n \% d$, and for all integer inputs both operators give the values that satisfy the quotient-remainder theorem. In $\mathrm{C}, \mathrm{C} #$, and Java, $n$ div $d$ is written $n / d$ and $n \bmod d$ is written $n \% d$. For all nonnegative integer inputs for $n$ and positive integer inputs for $d$, both operators give the values that satisfy the quotient-remainder theorem, but for negative integer inputs for $n$ or $d$ the resulting values differ from their mathematical counterparts.

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Direct Proof and Counterexample V: Division into Cases and the Quotient-Remainder Theorem

-Anna Pell Wheeler, 1883-1966

$$2 \leftarrow \text { quotient } 4 \backslash \text { longdiv11 } \quad \frac{8}{3} \leftarrow \text { remainder }$$

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Quotient-Remainder Theorem

A。 $n=54, d=4$
b. $n=-54, d=4$
C。 $n=54, d=70$

b. $-54=4 \cdot(-14)+2$; 因此 $q=-14$ 和 $r=2$.
C。 $54=70 \cdot 0+54$; 因此 $q=0$ 和 $r=54$.
$\operatorname{div}$ 和 mod

$n \bmod d$ 写的 $n \% d$. 对于所有非负整数输入 $n$ 和正整数输入 $d$ ，两个运算符都给出满足商余数定理的 值，但对于负整数输入 $n$ 或者 $d$ 结果值不同于它们的数学对应物。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。