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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MA8202 Reduced row echelon forms

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Reduced row echelon forms

5.1.4. Reduced row echelon forms – One says that a matrix $M=\left(m_{i, j}\right) \in$ $\operatorname{Mat}{n, p}(\mathrm{~A})$ is in reduced row echelon form if there exist an integer $r \in$ ${1, \ldots, \inf (n, p)}$ and integers $j_1, \ldots, j_r$ such that the following conditions hold: (i) $1 \leq j_1{i, j}=0$;
(iii) For any $i \in{1, \ldots, r}$, one has $m_{i, j_i}=1$, and $m_{k, j_i}=0$ for any other index $k$;
(iv) If $i \in{r+1, \ldots, n}$ and $j \in{1, \ldots, p}$, then $m_{i, j}=0$.

The entries $m_{i, j_i}=1$ are called the pivots of the matrix $M$, the integers $j_1, \ldots, j_r$ are called the pivot column indices; the integer $r$ is called the row rank of $M$. In this language, the above conditions thus say that the pivot column indices are strictly increasing (condition (i)), the first non-zero entry of each of the first $r$ rows is a pivot (condition (ii)), all entries of a pivot column other than the pivot itself are 0 (condition (iii)), and the rows of index $>r$ are zero (condition (iv)).
We mention the following important observation as a lemma.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Reduced column echelon form

5.1.6. Reduced column echelon form – One says that a matrix $M \in$ $\operatorname{Mat}{n, p}(\mathrm{~A})$ is in reduced column echelon form if its transpose matrix $\mathrm{M}^{\mathrm{t}}$ is in reduced row echelon form. Explicitly, this means that there exist an integer $s \in{1, \ldots, \inf (n, p)}$ and integers $i_1, \ldots, i_s$ such that the following conditions hold: (i) $1 \leq i_1{i, j}=0$;

(iii) For any $j$ such that $1 \leq j \leq s$, one has $m_{i_j, j}=1$ and $m_{i_j, k}=0$ for any other $k \neq j$;
(iv) If $j \in{s+1, \ldots, p}$ and $i \in{1, \ldots, n}$, then $m_{i, j}=0$.
In English: the first non-zero entry of each of the first $s$ columns is equal to 1, called a pivot, the pivot row indices are increasing, all entries of a pivot row other than the pivot itself are 0 , and the columns of index $>s$ are zero. The integer $s$ is called the column rank of $M$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Reduced row echelon forms

5.1.4. 简化的行阶梯形式 $-一$ 有人说矩阵 $M=\left(m_{i, j}\right) \in \operatorname{Mat} n, p(\mathrm{~A})$ 如果存在整数，则为简化的行阶梯形式 $r \in 1, \ldots, \inf (n, p)$ 和整数 $j_1, \ldots, j_r$ 从而满足以下条件: ( $\left.\mathrm{i}\right) 1 \leq j_1 i, j=0$;
(iii) 对于任何 $i \in 1, \ldots, r$,一个有 $m_{i, j_i}=1$ ，和 $m_{k, j_i}=0$ 对于任何其他索引 $k$;
(iv) 如果 $i \in r+1, \ldots, n$ 和 $j \in 1, \ldots, p$ ，然后 $m_{i, j}=0$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Reduced column echelon form

(iii) 对于任何 $j$ 这样 $1 \leq j \leq s$ ，一个有 $m_{i_{j, j}}=1$ 和 $m_{i_j, k}=0$ 对于任何其他 $k \neq j$;
(iv) 如果 $j \in s+1, \ldots, p$ 和 $i \in 1, \ldots, n$ ，然后 $m_{i, j}=0$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。