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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Math6122 Hermite Normal Form

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hermite Normal Form

5.3.1. – Let A be a principal ideal domain. We choose, once and for all, a set $\mathscr{P}(\mathrm{A})$ of representatives of $(\mathrm{A}-{0}) / \mathrm{A}^{\times}$in $\mathrm{A}$, that is, a privileged generator of each non-zero ideal. We also choose, for every non-zero $a \in A$, a set $\mathscr{P}(\mathrm{A}, a)$ of representatives of the quotient ring $\mathrm{A} /(a)$ in A. Let us give three important examples:
(i) Assume that A is a field. Then we take $\mathscr{P}(\mathrm{A})={1}$ and $\mathscr{P}(\mathrm{A}, a)={0}$ for every $a \in \mathrm{A}-{0}$.
(ii) Assume that $\mathbf{A}=\mathbf{Z}$, so that $\mathbf{Z}^{\times}={\pm 1}$. We take for $\mathscr{P}(\mathbf{Z})$ the set of positive integers; for each non-zero $n \in \mathbf{Z}$, we set $\mathscr{P}(\mathbf{Z}, n)={0,1, \ldots,|n|-1}$.
(iii) Assume that $\mathrm{K}$ is a field and $A=K[T]$. One has $A^{\times}=K^{\times}$. We set $\mathscr{P}(\mathrm{K}[\mathrm{T}])$ to be the set of monic polynomials. Moreover, for every non-zero polynomial $\mathrm{P} \in \mathrm{K}[\mathrm{T}]$, we define $\mathscr{P}(\mathrm{K}[\mathrm{T}], \mathrm{P})$ to be the set of polynomials $\mathrm{Q}$ such that $\operatorname{deg}(\mathrm{Q})<\operatorname{deg}(\mathrm{P})$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Row Hermite form

5.3.2. Row Hermite form – Let $M=\left(m_{i, j}\right) \in \operatorname{Mat}{n, p}(\mathrm{~A})$. We say that the matrix $M$ is in row Hermite form if there exist an integer $r \in{1, \ldots, \inf (n, p)}$ and integers $j_1, \ldots, j_r$, such that the following conditions hold: (i) $1 \leq j_1i$; (iv) If $i \in{r+1, \ldots, n}$ and $j \in{1, \ldots, p}$, then $m{i, j}=0$.
When $\mathrm{A}$ is a field (and the sets of representatives have been chosen as above), we recover the definition of a matrix in reduced row echelon form. The entries $m_{i, j_i}$ are thus called the pivots of the matrix $\mathrm{M}$; the integers $j_1, \ldots, j_r$ are called the pivot column indices; the integer $r$ is called the row rank of $\mathrm{M}$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hermite Normal Form

5.3.1. 一 设 $\mathrm{A}$ 为主理想域。我们一劳永逸地选择一组 $\mathscr{P}(\mathrm{A})$ 的代表 $(\mathrm{A}-0) / \mathrm{A}^{\times}$在 $\mathrm{A}$ ，即每个非零理想的特权 生成器。我们还选择，对于每个非零 $a \in A$ ，一套 $\mathscr{P}(\mathrm{A}, a)$ 商环的代表 $\mathrm{A} /(a)$ 在 $\mathrm{A}$ 中。让我们举三个重要的 例子:
（i）假设 $\mathrm{A}$ 是一个字段。然后我们拿 $\mathscr{P}(\mathrm{A})=1$ 和 $\mathscr{P}(\mathrm{A}, a)=0$ 每一个 $a \in \mathrm{A}-0$.
（ii）假设 $\mathbf{A}=\mathbf{Z}$ ，以便 $\mathbf{Z}^{\times}=\pm 1$. 我们认为 $\mathscr{P}(\mathbf{Z})$ 正整数集；对于每个非䨐 $n \in \mathbf{Z}$ ，我们设置 $\mathscr{P}(\mathbf{Z}, n)=0,1, \ldots,|n|-1$.
(iii) 假设 $\mathrm{K}$ 是一个字段并且 $A=K[T]$. 一个有 $A^{\times}=K^{\times}$. 我们设置 $\mathscr{P}(\mathrm{K}[\mathrm{T}])$ 是一元多项式的集合。此外， 对于每个非零多项式 $P \in K[T]$ ，我们定义 $\mathscr{P}(K[T], P)$ 是多项式的集合 $Q$ 这样 $\operatorname{deg}(Q)<\operatorname{deg}(P)$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Row Hermite form

5.3.2. 行 Hermite 形式 $-$ 让 $M=\left(m_{i, j}\right) \in \operatorname{Mat} n, p(\mathrm{~A})$. 我们说矩阵 $M$ 如果存在整数，则为行 Hermite 形 式 $r \in 1, \ldots, \inf (n, p)$ 和整数 $j_1, \ldots, j_r$ ，使得以下条件成立： (i) $1 \leq j_1 i$; (iv) 如果 $i \in r+1, \ldots, n$ 和 $j \in 1, \ldots, p$ ，然后 $m i, j=0$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。