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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MAT12004 Exactness Conditions for Functors

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Exactness Conditions for Functors

7.5.1. Definitions – Let $A$ and $B$ be two rings. Let us recall that a functor $F$ from the category $\operatorname{Mod}{\mathrm{A}}$ of A-modules to the category $\operatorname{Mod}{\mathrm{B}}$ of B-modules associates to each A-module M a B-module $\mathrm{F}(\mathrm{M})$ and to each morphism $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ of A-modules a morphism $\mathrm{F}(f): \mathrm{F}(\mathrm{M}) \rightarrow \mathrm{F}(\mathrm{N})$ subject to the following constraints:

For every A-module $\mathrm{M}$, one has $\mathrm{F}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}}\right)=\operatorname{id}{\mathrm{F}(\mathrm{M}) \text {; }}$;

For all A-modules M,N,P and all morphisms $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ and $g: \mathrm{N} \rightarrow$ $\mathrm{P}$, one has $\mathrm{F}(g \circ f)=\mathrm{F}(g) \circ \mathrm{F}(f)$.

Such a functor is said to be covariant by opposition to contravariant functors which reverse the direction of maps.

Indeed, a contravariant functor $\mathrm{F}$ from the category of $\mathrm{A}$-modules to the category of B-modules associates to each A-module $\mathrm{M} \mathrm{a}$ B-module $\mathrm{F}(\mathrm{M})$ and to each morphism $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ of A-modules a morphism $\mathrm{F}(f): \mathrm{F}(\mathrm{N}) \rightarrow \mathrm{F}(\mathrm{N})$ subject to the analogous requirements:

For every A-module $\mathrm{M}$, one has $\mathrm{F}\left(\mathrm{id}{\mathrm{M}}\right)=\mathrm{id}{\mathrm{F}(\mathrm{M}) \text {; }}$

For all A-modules M,N,P and all morphisms $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ and $g: \mathrm{N} \rightarrow$ $\mathrm{P}$, one has $\mathrm{F}(g \circ f)=\mathrm{F}(f) \circ \mathrm{F}(g)$.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Hom functors

7.5.7. The Hom functors – Let $A$ be a ring and let $Q$ be a fixed (A, $B)-$ bimodule. For every left A-module $\mathrm{M}$, let us consider the abelian group $\operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$, endowed with its natural structure of a left B-module. (For $u \in \operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$ and $b \in \mathrm{B}$, let $b u \in \operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$ be the map $x \mapsto u(x b)$. For $b, b^{\prime} \in \mathrm{B}$ and $x \in \mathrm{Q}, b\left(b^{\prime} u\right)$ is the morphism given by $x \mapsto\left(b^{\prime} u\right)(x b)=u\left(x b b^{\prime}\right)$, so that $b\left(b^{\prime} u\right)=\left(b b^{\prime}\right) u$.) If $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ is a morphism of left A-modules, let us consider the map $f: \operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \mathrm{M}) \rightarrow \operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \mathrm{N})$ given by $\varphi \mapsto f \circ \varphi$. For $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ and $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P}$, one has $(g \circ f)(\varphi)=g \circ f \circ \varphi=g \circ(f \circ \varphi)=$ $g\left(f_(\varphi)\right)=\left(g_* \circ f_*\right)(\varphi)$ for every $\varphi \in \operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$. Consequently, we have defined a covariant functor $\operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{Q}, \bullet)$ from the category of left A-modules to the category of left B-modules.

We can also consider the abelian group $\operatorname{Hom}A(M, Q)$ endowed with its natural structure of a right B-module defined by $(b u)(x)=(b(x)) u$ for $u \in$ $\operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{M}, \mathrm{Q}), b \in \mathrm{B}$ and $x \in \mathrm{M}$. For two left A-modules $\mathrm{M}$ and $\mathrm{N}$, and any morphism $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$, let us consider the map $f^: \operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{N}, \mathrm{Q}) \rightarrow$ $\operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{M}, \mathrm{Q})$ defined by $\varphi \mapsto \varphi \circ f$. For $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ and $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P}$, one has $(g \circ f)^(\varphi)=\varphi \circ g \circ f=(\varphi \circ g) \circ f=f^\left(g^(\varphi)\right)$, so that $(g \circ f)^=f^ \circ g^*$. We thus have defined a contravariant functor $\operatorname{Hom}_{\mathrm{A}}(\bullet, Q)$ from the category of left A-modules to the category of right B-modules.

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Exactness Conditions for Functors

7.5.1. 定义 – 让 $A$ 和 $B$ 是两个戒指。让我们回想一下函子 $F$ 从类别 $\operatorname{Mod} \mathrm{AA}$ 模块的类别 $\operatorname{Mod} \mathrm{BB}$ 模块的关联到 每个 $A$ 模块 $M$ 一 $B$ 模块 $F(M)$ 并且对每个态射 $f: M \rightarrow N A$-模态射 $F(f): \mathrm{F}(\mathrm{M}) \rightarrow \mathrm{F}(\mathrm{N})$ 受以下限制:

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Hom functors

7.5.7. Hom函子一一让 $A$ 是一个戒指，让 $Q$ 是一个固定的（ $\mathrm{A} ， B)$-双模块。对于每个左 $\mathrm{A}$ 模块 $\mathrm{M}$, 让我们考虑 阿贝尔群 $\operatorname{Hom} \mathrm{A}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$, 具有左 $\mathrm{B}$ 模块的自然结构。（为了 $u \in \operatorname{Hom} \mathrm{A}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$ 和 $b \in \mathrm{B}$ ，让 $b u \in \operatorname{Hom} \mathrm{A}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$ 成为地图 $x \mapsto u(x b)$. 为了 $b, b^{\prime} \in \mathrm{B}$ 和 $x \in \mathrm{Q}, b\left(b^{\prime} u\right)$ 是由给出的态射
$x \mapsto\left(b^{\prime} u\right)(x b)=u\left(x b b^{\prime}\right)$ ，以便 $b\left(b^{\prime} u\right)=\left(b b^{\prime}\right) u$ 。 ) 如果 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ 是左 $\mathrm{A}$ 模的态射，让我们考虑映射 $f: \operatorname{Hom} \mathrm{A}(\mathrm{Q}, \mathrm{M}) \rightarrow \operatorname{Hom} \mathrm{A}(\mathrm{Q}, \mathrm{N})$ 由 $\varphi \mapsto f \circ \varphi$. 为了 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ 和 $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P}$ ，个有 $(g \circ f)(\varphi)=g \circ f \circ \varphi=g \circ(f \circ \varphi)=g(f(\varphi))=\left(g_* \circ f_\right)(\varphi)$ 每一个 $\varphi \in \operatorname{Hom~A}(\mathrm{Q}, \mathrm{M})$. 因此，我 们定义了协变函子Hom A $(\mathrm{Q}, \bullet)$ 从左 A 模块类别到左 B 模块类别。 我们也可以考虑阿贝尔群Hom $A(M, Q)$ 赋予其右 $\mathrm{B}$ 模的自然结构，定义为 $(b u)(x)=(b(x)) u$ 为了 $u \in$ $\operatorname{Hom} \mathrm{A}(\mathrm{M}, \mathrm{Q}), b \in \mathrm{B}$ 和 $x \in \mathrm{M}$. 对于两个左 $\mathrm{A}$ 模块 $\mathrm{M}$ 和 $\mathrm{N}$ ，和任何态射 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ ，让我们考虑地图 $f: \operatorname{Hom~A}(\mathrm{N}, \mathrm{Q}) \rightarrow \operatorname{Hom~A}(\mathrm{M}, \mathrm{Q})$ 被定义为 $\varphi \mapsto \varphi \circ f$. 为了 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ 和 $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P}$ ，个有 $\left.(g \circ f)^{(} \varphi\right)=\varphi \circ g \circ f=(\varphi \circ g) \circ f=f^{(g(\varphi))}$ ，以便 $(g \circ f)^{=} f^{\circ} g^$. 因此我们定义了一个逆变函子 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{A}}(\bullet, Q)$ 从左 $\mathrm{A}$ 模块类别到右 $\mathrm{B}$ 模块类别。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。