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# 复分析代考_Complex analysis代考_MTH7054 Notations and Definitions

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## 复分析代考_Complex analysis代考_Notations and Definitions

The letters $a, b, c$, and $d$ are fixed complex numbers, and the letters $Z$ and $W$ represent complex variables. The letter $\mathbb{C}$ stands for the complex plane and the notation $\mathbb{S}=\mathbb{C} \cup(\infty)$ represents the complex plane with the “point” at infinity added. This can be realized as the closed unit sphere, but we shall not need that information in our work.

The words “fractional linear maps” stand for the family of mappings $f(Z)=\frac{a Z+b}{c Z+d}=W$. These are also known as Mobius mappings. There are certain special cases (choices of $a, b, c$, or $d$ ) that we wish to avoid and let us say a word about this matter. First, if $c$ is zero and $d$ is zero we can see there will be serious questions about the meaning of such an expression. To avoid this we assume (the determining number) $a d-b c \neq 0$.
For if this were not the case we observe that for different values $Z_1$ and $Z_2$ the expression
$$f\left(Z_1\right)-f\left(Z_2\right)=\frac{\left(Z_2-Z_1\right)(b c-a d)}{\left(c Z_1+d\right)\left(c Z_2+d\right)}=0$$
implying that $\mathrm{f}$ is a constant mapping. So for example the choice of $a=d=1$ and $b=\frac{\imath}{2}$ and $c=2 \imath$ would yield
$$f(Z)=\frac{Z+\frac{\imath}{2}}{2 \imath Z+1}=\frac{\imath}{2}$$

## 复分析代考_Complex analysis代考_Some Geometric Considerations

Assume $Z_1, Z_2$, and $Z_3$ are three distinct complex numbers. They determine a circle in our sense. Then the element $T \in \mathbb{L}$ of the form
$$f(Z)=\frac{\left(Z-Z_1\right)\left(Z_2-Z_3\right)}{\left(Z-Z_3\right)\left(Z_2-Z_1\right)}=W$$
has some interesting properties. Note that it maps $Z_1$ to zero, and $Z_2$ to the number 1 , and $Z_3$ to infinity. Thus the circle containing $Z_1, Z_2$, and $Z_3$ is mapped to the circle containing 0,1 , and the point at infinity. This $f(Z)=\frac{a Z+b}{c Z+d}=W$ is known as the “cross ratio” and is denoted by the form $\left(Z, Z_1, Z_2, Z_3\right)$. Now it follows from these properties if $W_1, W_2$, and $W_3$ are three distinct complex numbers the equation
$$f(Z)=\left(Z, Z_1, Z_2, Z_3\right)=\left(W, W_1, W_2, W_3\right)=g(W)$$
maps the circle determined by $Z_1, Z_2, Z_3$, one to one and onto the circle determined by the points $W_1, W_2, W_3$. This follows easily since setting $Z=Z_1$ gives the value number zero in the left terms and since $W_1$ is the unique point in the righthand term giving the value zero it must corresponding to $Z_1$, etc., for the two remaining terms.

## 复分析代考_Complex analysis代考_Notations and Definitions

“分数线性映射”一词代表映射族 $f(Z)=\frac{a Z+b}{c Z+d}=W$. 这些也称为莫比乌斯映射。有一些特殊情况（选择 $a, b, c$ ，或者 $d$ ) 我们希望避免，让我们炏谈这件事。首先，如果 $c$ 为零且 $d$ 为零，我们可以看到对这种表达式的 含义会有严重的疑问。为了避免这种情况，我们假设 (确定数) $a d-b c \neq 0$.

$$f\left(Z_1\right)-f\left(Z_2\right)=\frac{\left(Z_2-Z_1\right)(b c-a d)}{\left(c Z_1+d\right)\left(c Z_2+d\right)}=0$$

$$f(Z)=\frac{Z+\frac{\imath}{2}}{2 \imath Z+1}=\frac{\imath}{2}$$

## 复分析代考_Complex analysis代考_Some Geometric Considerations

$$f(Z)=\frac{\left(Z-Z_1\right)\left(Z_2-Z_3\right)}{\left(Z-Z_3\right)\left(Z_2-Z_1\right)}=W$$

$$f(Z)=\left(Z, Z_1, Z_2, Z_3\right)=\left(W, W_1, W_2, W_3\right)=g(W)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。