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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MA405 The Cyclic Decomposition Theorem for Primary Modules

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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Cyclic Decomposition Theorem for Primary Modules

Theorem 6.5 (The cyclic decomposition theorem) Let $M$ be a nonzero primary finitely generated torsion module over a principal ideal domain $\mathrm{R}$, with order $\mathrm{p}^{\mathrm{e}}$. Then $\mathrm{M}$ is the direct sum
$$\mathrm{M}=\mathrm{C}1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{C}{\mathrm{n}}$$
of cyclic submodules, with orders $p^{e_1}, \ldots, p^{e_n}$ satisfying
$$\mathrm{e}=\mathrm{e}1 \geq \mathrm{e}_2 \geq \cdots \geq \mathrm{e}{\mathrm{n}}$$
or, equivalently,
$$\mathrm{p}^{\mathrm{e}}\left|\mathrm{p}^{\mathrm{e}^{\mathrm{n}-1}}\right| \cdots \mid \mathrm{p}^{\mathrm{e}1}$$ Proof. Once (6.2) is established, (6.4) will follow easily, since $$\mathrm{p}^{\mathrm{e}} \in \operatorname{ann}(\mathrm{M}) \subset \operatorname{ann}\left(\mathrm{C}{\mathrm{i}}\right)$$
and so if $\operatorname{ann}\left(\mathrm{C}{\mathrm{i}}\right)=\left\langle\alpha{\mathrm{i}}\right\rangle$, then $\alpha_{\mathrm{i}} \mid \mathrm{p}^{\mathrm{e}}$. Hence, $\alpha_{\mathrm{i}}=\mathrm{p}^{\mathrm{e}{\mathrm{i}}}$, for some $\mathrm{e}{\mathrm{i}} \leq \mathrm{e}$. Then we may rearrange the order of the summands to get (6.4).
To prove (6.2), we begin by observing that there is an element $\mathrm{v}_1 \in \mathrm{M}$ with $\operatorname{ann}\left(\mathrm{v}_1\right)=\operatorname{ann}(\mathrm{M})=\left\langle\mathrm{p}^{\mathrm{e}}\right\rangle$. For if not, then for all $\mathrm{v} \in \mathrm{M}$, we would have $\operatorname{ann}(\mathrm{v})=\left\langle\mathrm{p}^{\mathrm{k}}\right\rangle$ with $\mathrm{k}<\mathrm{e}$, and so $\mathrm{p}^{\mathrm{e}-1} \in \operatorname{ann}(\mathrm{M})$. But this implies that $\mathrm{p}^{\mathrm{e}} \mid \mathrm{p}^{\mathrm{e}-1}$, which is impossible.

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Uniqueness

Although the decomposition (6.2) is not unique, we will see that the orders $p^{e_i}$ are unique up to multiplication by a unit. The prime $p$ is certainly unique, since it must divide the order $\mathrm{p}^{\mathrm{e}}$ of $\mathrm{M}$. Before proceeding further, we need a few preliminary results, whose proofs are left as exercises.

Lemma 6.6 Let $\mathrm{R}$ be a principal ideal domain.
1) If $\langle\mathrm{v}\rangle$ is a cyclic R-module, with $\operatorname{ann}(\mathrm{v})=\langle\mathrm{a}\rangle$, then the map
$$\tau: \mathrm{R} \rightarrow\langle\mathrm{v}\rangle \quad \tau(\mathrm{r})=\mathrm{rv}$$
is an epimorphism between R-modules, with kernel $\langle\mathrm{a}\rangle$, and so
$$\langle v\rangle \approx \frac{\mathrm{R}}{\langle\mathrm{a}\rangle}$$
Moreover, if a is a prime, then $\langle a\rangle$ is a maximal ideal in $\mathrm{R}$, and so $\mathrm{R} /\langle\mathrm{a}\rangle$ is a field.
2) Let $\mathrm{p} \in \mathrm{R}$ be a prime. If $\mathrm{M}$ is an R-module for which $\mathrm{pM}=$ ${0}$, then $M$ is a vector space over $\mathrm{R} /\langle\mathrm{p}\rangle$, where scalar multiplication is defined by
$$(r+\langle p\rangle) \mathrm{v}=\mathrm{rv}$$
for all $\mathrm{v} \in \mathrm{M}$.
3) Let $p \in R$ be a prime. For any submodule $S$ of an R-module $\mathrm{M}$, the set
$$\mathrm{S}^{(\mathrm{p})}={\mathrm{v} \in \mathrm{S} \mid \mathrm{pv}=0}$$
is a submodule of $M$. Moreover, if $M=S \oplus T$, then $M^{(p)}=$ $\mathrm{S}^{(\mathrm{p})} \oplus \mathrm{T}^{(\mathrm{p})}$
Now we are ready for the uniqueness result.

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$$\mathrm{M}=\mathrm{C} 1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{Cn}$$

$$\mathrm{e}=\mathrm{e} 1 \geq \mathrm{e}2 \geq \cdots \geq \mathrm{en}$$ 或者，等价地， $$\mathrm{p}^{\mathrm{e}}\left|\mathrm{p}^{\mathrm{e}-1}\right| \cdots \mid \mathrm{p}^{\mathrm{e1}}$$ 证明。一旦 (6.2) 成立， (6.4) 将很容易推出，因为 $$\mathrm{p}^{\mathrm{e}} \in \operatorname{ann}(\mathrm{M}) \subset \operatorname{ann}(\mathrm{Ci})$$ 所以如果 $a n n(\mathrm{Ci})=\langle\alpha \mathrm{i}\rangle$ ，然后 $\alpha{\mathrm{i}} \mid \mathrm{p}^{\mathrm{e}}$. 因此， $\alpha_{\mathrm{i}}=\mathrm{p}^{\mathrm{ei}}$ ，对于一些 $\mathrm{ei} \leq \mathrm{e}$. 然后我们可以重新排列被加数的 顺序得到 (6.4) 。

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1) 如果 $\langle v\rangle$ 是循环 $R$ 模，有 $\operatorname{ann}(v)=\langle a\rangle$ ，然后是地图
$$\tau: \mathrm{R} \rightarrow\langle\mathrm{v}\rangle \quad \tau(\mathrm{r})=\mathrm{rv}$$

$$\langle v\rangle \approx \frac{\mathrm{R}}{\langle\mathrm{a}\rangle}$$

2）让 $p \in R$ 成为䋏数。如果 $M$ 是一个 $R$ 模块，其中 $p M=0$ ，然后 $M$ 是一个向量空间 $R /\langle p\rangle$ ，其中标量乘法 定义为
$$(r+\langle p\rangle) \mathrm{v}=\mathrm{rv}$$

3) 让 $p \in R$ 成为素数。对于任何子模块 $S \mathrm{R}$ 模块的 $\mathrm{M}$ ，集合
$$\mathrm{S}^{(\mathrm{p})}=\mathrm{v} \in \mathrm{S} \mid \mathrm{pv}=0$$

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