Posted on Categories:Linear algebra, 数学代写, 线性代数

# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MATH307 The Decomposition of V

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Decomposition of V

We are now ready to translate the cyclic decomposition theorem (Theorem 6.8) into the language of $\mathrm{V}$.

Theorem 7.8 (The cyclic decomposition theorem for V) Let $\tau \in \mathcal{L}(\mathrm{V})$, where $\operatorname{dim}(\mathrm{V})<\infty$. If the minimal polynomial of $\tau$ is
$$m_\tau(x)=p_1^{e_1}(x) \cdots p_n^{e_n}(x)$$
where the monic polynomials $\mathrm{p}{\mathrm{i}}(\mathrm{x})$ are distinct and irreducible, then $\mathrm{V}$ is the direct sum where $$\mathrm{V}=\mathrm{V}{\mathbf{p}1} \oplus \cdots \oplus \mathrm{V}{\mathbf{p}{\mathbf{n}}}$$ $$\mathrm{V}{\mathrm{p}{\mathrm{i}}}=\left{\mathbf{v} \in \mathrm{V} \mid \mathrm{p}{\mathrm{i}}^{\mathrm{e}} \mathrm{i}(\tau)(\mathbf{v})=\mathbf{0}\right}$$
is an invariant subspace (submodule) of $\mathrm{V}$, and
$$\min \left(\tau \mid \mathrm{v}{\mathrm{p}{\mathrm{i}}}\right)=\mathrm{p}{\mathrm{i}}^{\mathrm{e}{\mathrm{i}}(\mathrm{x})}$$
Moreover, each $\mathrm{V}{\mathrm{p}{\text {. }}}$ can be further decomposed into a direct sum of $\tau$-cyclic subspaces (cyclic submodules)
where and
$$\begin{gathered} \mathrm{v}{\mathrm{p}{\mathrm{i}}}=\left\langle\mathbf{v}{\mathrm{i}, 1}\right\rangle \oplus \cdots \oplus\left\langle\mathbf{v}{\mathrm{i}, \mathbf{k}{\mathrm{i}}}\right\rangle \ \min \left(\left.\tau\right|{\left\langle\mathbf{v}{\mathrm{i}, \mathrm{j}}\right\rangle}\right)=\mathrm{p}{\mathrm{i}}^{\mathrm{e}{\mathrm{i}, \mathrm{j}}(\mathrm{x})} \ \mathrm{e}{\mathrm{i}}=\mathrm{e}{\mathrm{i}, 1} \geq \mathrm{e}{\mathrm{i}, 2} \geq \cdots \geq \mathrm{e}{\mathrm{i}, \mathbf{k}{\mathrm{i}}} \end{gathered}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Rational Canonical Form

The cyclic decomposition theorem can be used to determine a set of canonical forms for similarity.

Recall that if $\mathrm{V}=\mathrm{S} \oplus \mathrm{T}$ and if both $\mathrm{S}$ and $\mathrm{T}$ are invariant under $\tau$, the pair (S,T) is said to reduce $\tau$. Put another way, $(\mathrm{S}, \mathrm{T})$ reduces $\tau$ if the restrictions
$$\left.\tau\right|{\mathrm{S}}: \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} \quad \text { and }\left.\quad \tau\right|{\mathrm{T}}: \mathrm{T} \rightarrow \mathrm{T}$$

are linear operators on $\mathrm{S}$ and $\mathrm{T}$, respectively. Recall also that we write $\tau=\rho \oplus \sigma$ if there exist subspaces $\mathrm{S}$ and $\mathrm{T}$ of $\mathrm{V}$ for which $(\mathrm{S}, \mathrm{T})$ reduces $\tau$ and
$$\rho=\left.\tau\right|{\mathrm{S}} \text { and } \sigma=\left.\tau\right|{\mathrm{T}}$$
If $\tau=\sigma \oplus \rho$, then any matrix representations of $\sigma$ and $\rho$ can be used to construct a matrix representation of $\tau$. This is especially relevant to our situation, since according to Theorem 7.8,
$$\tau=\left.\left.\tau\right|{\left\langle\mathbf{v}{1,1}\right\rangle} \oplus \cdots \oplus \tau\right|{\left\langle\mathbf{v}{\mathbf{n}, \mathbf{k}_{\mathbf{n}}}\right\rangle}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Decomposition ofV

$$m_\tau(x)=p_1^{e_1}(x) \cdots p_n^{e_n}(x)$$

$$\mathbf{V}=\mathbf{V} \mathbf{p} 1 \oplus \cdots \oplus \mathbf{V} \mathbf{p} \mathbf{n}$$
\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\min (\tau \mid \mathrm{vpi})=\mathrm{pi}^{\mathrm{ei}(\mathrm{x})}$$

$$\mathrm{vpi}=\langle\mathbf{v i}, 1\rangle \oplus \cdots \oplus\langle v i, \mathbf{k i}\rangle \min (\tau \mid\langle v \mathrm{vi}, \mathrm{j}\rangle)=\mathrm{pi}^{\mathrm{ei}, \mathrm{j}(\mathrm{x})} \mathrm{ei}=\mathrm{ei}, 1 \geq \mathrm{ei}, 2 \geq \cdots \geq \mathrm{ei}, \mathbf{k i}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Rational Canonical Form

$$\tau \mid \mathrm{S}: \mathrm{S} \rightarrow \mathrm{S} \quad \text { and } \quad \tau \mid \mathrm{T}: \mathrm{T} \rightarrow \mathrm{T}$$

$$\rho=\tau \mid \mathrm{S} \text { and } \sigma=\tau \mid \mathrm{T}$$

$$\tau=\tau|\langle\mathbf{v} 1,1\rangle \oplus \cdots \oplus \tau|\left\langle\mathbf{v n}, \mathbf{k}_{\mathbf{n}}\right\rangle$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。