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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MAJ01156 Theorems on Interchanging Limits and Integrals or Derivatives

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Theorems on Interchanging Limits and Integrals or Derivatives

Let $f_k$ be a sequence of integrable functions on a closed and bounded interval $I=$ $[a, b]$, and suppose the $f_k$ converge to some function $f$ pointwise on $I$. We may ask whether $f$ is integrable on $[a, b]$ and whether
$$\lim _{k \rightarrow+\infty} \int_a^b f_k(x) d x=\int_a^b f(x) d x$$
The answer is typically no, as the following examples clarifies.

Example 1 For $x \in[0,1]$ define (see the graphs in Fig. 1.3)
$$f_k(x)=k x e^{-k x^2}$$
For any given $x \in[0,1]$ the numerical sequence $f_k(x)$ tends to zero, hence the sequence $f_k$ converges on $[0,1]$ pointwise, and the pointwise limit is the function $f(x)=0$ for every $x \in[0,1]$. Let us compute the integral
$$\int_0^1 f_k(x) d x=\frac{1}{2}\left[-e^{-k x^2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(1-e^{-k}\right),$$

Example 1 (continued) from which
$$\lim _{k \rightarrow+\infty} \int_0^1 f_k(x) d x=\frac{1}{2} \neq \int_0^1 f(x) d x=0 .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Theorem (Interchange of Limits and Integrals)

Theorem (Interchange of Limits and Integrals) If $f_k$ is a sequence of continuous functions that converges uniformly to $f$ on $[a, b]$, then
$$\lim {k \rightarrow+\infty} \int_a^b f_k(x) d x=\int_a^b f(x) d x .$$ Proof By the theorem on the continuity of limits, $f(x)$ is a continuous function on the closed and bounded interval $[a, b]$, and thus it is integrable there. Moreover \begin{aligned} & \left|\int_a^b f_k(x) d x-\int_a^b f(x) d x\right|=\left|\int_a^b\left{f_k(x)-f(x)\right} d x\right| \leq \ & \leq \int_a^b\left|f_k(x) d x-f(x)\right| d x \leq(b-a) \cdot \max {a \leq x \leq b}\left|f_k(x)-f(x)\right|, \end{aligned}
so the claim follows when $k \rightarrow+\infty$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Theorems on Interchanging Limits and Integrals or Derivatives

$$\lim {k \rightarrow+\infty} \int_a^b f_k(x) d x=\int_a^b f(x) d x$$ 答穼通常是否定的，如以下示例所示。 示例 1 对于 $x \in[0,1]$ 定义 (见图 $1.3$ 中的图表) $$f_k(x)=k x e^{-k x^2}$$ 对于任何给定的 $x \in[0,1]$ 数字序列 $f_k(x)$ 趋于霝，因此序列 $f_k$ 收玫于 $[0,1]$ 逐点，逐点极限是函数 $f(x)=0$ 每 一个 $x \in[0,1]$. 让我们计算积分 $$\int_0^1 f_k(x) d x=\frac{1}{2}\left[-e^{-k x^2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(1-e^{-k}\right)$$ 示例 1 (续) 从中 $$\lim {k \rightarrow+\infty} \int_0^1 f_k(x) d x=\frac{1}{2} \neq \int_0^1 f(x) d x=0 .$$

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Theorem (Interchange of Limits and Integrals)

$$\lim k \rightarrow+\infty \int_a^b f_k(x) d x=\int_a^b f(x) d x .$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。