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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Math444 Limitations of Q

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Limitations of Q

A linear equation $a x=b$ over $\mathbf{Q}$, where $a \neq 0$, has a unique solution $x=b / a$. However, as the next theorem shows, there are simple quadratic equations over $\mathbf{Q}$ that do not have solutions.
Theorem 1.10. The equation $x^2=2$ does not have a solution in $\mathbf{Q}$.
Proof. Suppose to the contrary that there is $r \in \mathbf{Q}$ such that $r^2=2$. Recall that we may assume that $b$ is a positive integer in any fraction $(a, b) \in r$. Let
$$A={b \in \mathbf{N}:(a, b) \in r \text { for some } a \in \mathbf{Z} .}$$
Because $r^2=2$, we must have $a^2=2 b^2$ for every $(a, b) \in r$. (Note that $\left(a^2, b^2\right) \sim$ $(2,1)$ if and only if $a^2=2 b^2$.) Hence,
$$A=\left{b \in \mathbf{N}: a^2=2 b^2 \text { for some } a \in \mathbf{Z}\right}$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Convergence in an Ordered Field

Definition 1.9. For every $x \in \mathbf{F}$, the element $|x|$ of $\mathbf{F}$ defined by
$$|x|= \begin{cases}x, & \text { if } x \geq 0 \ -x, & \text { if } x<0\end{cases}$$
is called the absolute value of the element $x$.
The following properties of the absolute value characterize an ordered field as a “metric space” with the “distance function” $d(x, y)=|x-y|$ :
Theorem 1.12. For all $x, y, z \in \mathbf{F}$,
\begin{aligned} & |x-y|=0 \quad \text { if and only if } x=y ; \ & |x-y|=|y-x| \ & |x-z| \leq|x-y|+|y-z| \quad \text { symmetry; } \end{aligned}
The proof of Theorem $1.12$ is left as an exercise (cf. Exercise 1.16). Several other properties of the absolute value function $x \mapsto|x|, x \in \mathbf{F}$, are found in Exercise 1.17.
The notion of a sequence is ubiquitous in analysis. We proceed with formal definitions.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Limitations of Q

$$A=b \in \mathbf{N}:(a, b) \in r \text { for some } a \in \mathbf{Z} \text {. }$$

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Convergence in an Ordered Field

$$|x|={x, \quad \text { if } x \geq 0-x, \quad \text { if } x<0$$

$|x-y|=0 \quad$ if and only if $x=y ; \quad|x-y|=|y-x||x-z| \leq|x-y|+|y-z| \quad$ symmetry;

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。