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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MATH1013 Connected Open Subsets of Rn

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Connected Open Subsets of Rn

An open subset $A \subseteq \mathbb{R}^n$ is connected when there is no partition $\left{A_1, A_2\right}$ of $A$ into non-empty open sets. Equivalently, an open set $A$ is connected if and only if
$$A_1, A_2 \quad \text { open in } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$$
imply that one of the two sets $A_1$ and $A_2$ is empty.
A segment $\left[x_1, x_2\right]$ in $\mathbb{R}^n$ with endpoints $x_1$ and $x_2$ is the set of points $x(t)$ in $\mathbb{R}^n$ such that
$$x(t)=x_1+t\left(x_2-x_1\right), \quad \forall t \in[0,1]$$
Let $x_1, x_2, \ldots, x_k$ be $k$ points of $\mathbb{R}^n(k \geq 2)$, with $x_i \neq x_{i+1}$ for any $i=1,2, \ldots, k-1$. A polygonal path in $\mathbb{R}^n$ with vertices $x_1, x_2, \ldots, x_k$ is the union of the line segments $\left[x_i, x_{i+1}\right]$, for $i=1,2, \ldots, k-1$. The points $x_1, x_k$ are the path’s endpoints.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Intermediate Value Theorem

Intermediate Value Theorem Let A be a connected open set (or domain) in $\mathbb{R}^n$, and $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ a continuous function on $A$. Then $f$ assumes every value between the infimum and the supremum of $f$ on $A$.

Proof Fix $l \in\left(\inf A f, \sup _A f\right)$. There exist $x$ and $y$ internal to $A$ such that $f(x)<$ $l{i+1}\right], i=1,2, \ldots, k-1$, is a continuous function of one real variable, namely
$$t \rightarrow f(x(t))=f\left(x_i+t\left(x_{i-1}-x_i\right)\right), \quad \forall t \in[0,1],$$
the image of each interval $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ is a closed interval in $\mathbb{R}$.
Furthermore, the images of two consecutive intervals $\left[x_{i-1}, x_i\right],\left[x_i, x_{i+1}\right]$ overlap because the value $f\left(x_i\right)$ belongs to both. Therefore the images’ union is an interval. Iterating the process, the image of the polygonal path of vertices $x_1=x, x_2, \ldots, x_k=y$ is an interval, which contains $f(x), f(y)$ and hence it also contains $l$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Connected Open Subsets of $\mathbf{R n}$

$$A_1, A_2 \quad \text { open in } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$$

$$x(t)=x_1+t\left(x_2-x_1\right), \quad \forall t \in[0,1]$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。