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# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|MATH10051 Use the derivative identities of Bessel functions

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Use the derivative identities of Bessel functions

Use the derivative identities of Bessel functions, (3.85) and (3.86), and integration by parts to show that
$$\int x^3 J_0(x) d x=x^3 J_1(x)-2 x^2 J_2(x)+C .$$
We first note that
$$\frac{d}{d x}\left[x J_1(x)\right]=x J_0(x), \quad \frac{d}{d x}\left[x^2 J_2(x)\right]=x^2 J_1(x) .$$
Integration by parts gives
\begin{aligned} \int x^3 J_0(x) d x & =\int x^2 \frac{d}{d x}\left[x J_1(x)\right] d x \ & =x^3 J_1(x)-2 \int x^2 J_1(x) d x \ & =x^3 J_1(x)-2 \int \frac{d}{d x}\left[x^2 J_2(x)\right] d x \ & =x^3 J_1(x)-2 x^2 J_2(x)+C \end{aligned}

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Use the generating function to find Jn(0) and J0n(0).

The generating function is given by
$$g(x, t)=e^{x\left(t-\frac{1}{t}\right) / 2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(x) t^n, \quad x>0, t \neq 0 .$$
i. Evaluating $g(x, t)$ at $x=0$,
$$g(0, t)=e^0=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(0) t^n .$$
Therefore, we have $J_n(0)=0$ for $n>0$ and $J_0(0)=1$.
ii. Evaluating $g_x(x, t)$ at $x=0$,
$$\frac{\partial g(0, t)}{\partial x}=\frac{1}{2}\left(t-t^{-1}\right) e^0=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n^{\prime}(0) t^n .$$
This gives $J_1^{\prime}(0)=\frac{1}{2}, J_{-1}^{\prime}(0)=-\frac{1}{2}$, and $J_n^{\prime}(0)=0$ for $n \neq \pm 1$.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Use the derivative identities of Bessel functions

$$\int x^3 J_0(x) d x=x^3 J_1(x)-2 x^2 J_2(x)+C .$$

$$\frac{d}{d x}\left[x J_1(x)\right]=x J_0(x), \quad \frac{d}{d x}\left[x^2 J_2(x)\right]=x^2 J_1(x) .$$

$$\int x^3 J_0(x) d x=\int x^2 \frac{d}{d x}\left[x J_1(x)\right] d x \quad=x^3 J_1(x)-2 \int x^2 J_1(x) d x=x^3 J_1(x)-2 \int \frac{d}{d x}\left[x^2 J_2(x)\right] d x \quad=x^3 J_1(x)-2 x^2 J_2(x)+C$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Use the generating function to find $\operatorname{Jn}(0)$ and $\operatorname{JOn}(0)$.

$$g(x, t)=e^{x\left(t-\frac{1}{t}\right) / 2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(x) t^n, \quad x>0, t \neq 0 .$$

$$g(0, t)=e^0=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(0) t^n$$

$$\frac{\partial g(0, t)}{\partial x}=\frac{1}{2}\left(t-t^{-1}\right) e^0=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n^{\prime}(0) t^n$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。