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# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|MATH139 Evaluate the following integrals

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Evaluate the following integrals

Evaluate the following integrals:
a. $\int_0^\pi \sin x \delta\left(x-\frac{\pi}{2}\right) d x$.
$$\int_0^\pi \sin x \delta\left(x-\frac{\pi}{2}\right) d x=1$$
b. $\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{x-5}{3} e^{2 x}\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x$.
The argument of the Dirac delta function is not simple. It is of the form $\delta(f(x))$ where $f(x)=\frac{x-5}{3} e^{2 x}$. The Dirac delta function can be written as $\frac{\delta(x-5)}{\left|f^{\prime}(5)\right|}=\frac{\delta(x-5)}{\left|\frac{1}{3} e^{10}\right|}$. Therefore,
\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{x-5}{3} e^{2 x}\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x \ = & \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(x-5)}{\left|\frac{1}{3} e^{10}\right|}\left(3 x^2-7 x+2\right) d x \ = & \frac{126}{e^{10}} \end{aligned}
c. $\int_0^\pi x^2 \delta\left(x+\frac{\pi}{2}\right) d x$.
Since $x=-\frac{\pi}{2}$ is not in the integration interval, $[0, \pi]$,
$$\int_0^\pi x^2 \delta\left(x+\frac{\pi}{2}\right) d x=0 .$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|For the case that a function has multiple roots

For the case that a function has multiple roots, $f\left(x_i\right)=0, i=1,2, \ldots$, it can be shown that
$$\delta(f(x))=\sum_{i=1}^n \frac{\delta\left(x-x_i\right)}{\left|f^{\prime}\left(x_i\right)\right|} .$$
Use this result to evaluate $\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(x^2-5 x-6\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x$.
We note that
\begin{aligned} \delta\left(x^2-5 x+6\right) & =\delta((x+1)(x-6)) \ & =\frac{\delta(x+1)}{7}+\frac{\delta(x-6)}{7} \ & =\frac{1}{7}[\delta(x-2)+\delta(x-3)] . \end{aligned}
The denominators come from using $f(x)=x^2-5 x-6$ and $\left|f^{\prime}(x)\right|=|2 x-5|=1$ at $x=-1,6$.
Now we evaluate the integral.
\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(x^2-5 x-6\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x \ = & \frac{1}{7} \int_{-\infty}^{\infty}(\delta(x+1)+\delta(x-6))\left(3 x^2-7 x+2\right) d x \ = & \frac{1}{7}[12+68]=\frac{80}{7} . \end{aligned}

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Evaluate the following integrals

$$: \int_0^\pi \sin x \delta\left(x-\frac{\pi}{2}\right) d x$$
$$\int_0^\pi \sin x \delta\left(x-\frac{\pi}{2}\right) d x=1$$
b. $\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{x-5}{3} e^{2 x}\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x$.
Dirac delta 函数的论证并不简单。它的形式 $\delta(f(x))$ 在哪里 $f(x)=\frac{x-5}{3} e^{2 x}$. Dirac delta 函数可 以写成 $\frac{\delta(x-5)}{\left|f^{\prime}(5)\right|}=\frac{\delta(x-5)}{\left|\frac{1}{3} e^{10}\right|}$. 所以，
$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{x-5}{3} e^{2 x}\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(x-5)}{\left|\frac{1}{3} e^{10}\right|}\left(3 x^2-7 x+2\right) d x=\frac{126}{e^{10}}$$
C。 $\int_0^\pi x^2 \delta\left(x+\frac{\pi}{2}\right) d x$.

$$\int_0^\pi x^2 \delta\left(x+\frac{\pi}{2}\right) d x=0$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|For the case that a function has multiple roots

$$\delta(f(x))=\sum_{i=1}^n \frac{\delta\left(x-x_i\right)}{\left|f^{\prime}\left(x_i\right)\right|} .$$

$$\delta\left(x^2-5 x+6\right)=\delta((x+1)(x-6)) \quad=\frac{\delta(x+1)}{7}+\frac{\delta(x-6)}{7}=\frac{1}{7}[\delta(x-2)+\delta(x-3)]$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(x^2-5 x-6\right)\left(3 x^2-7 x+2\right) d x=\quad \frac{1}{7} \int_{-\infty}^{\infty}(\delta(x+1)+\delta(x-6))\left(3 x^2-7 x+2\right) d x=\frac{1}{7}[12+68]=\frac{80}{7}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。