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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Math461 Sums of Random Variables

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Sums of Random Variables

In Exercise $5.6 .9$, it was shown already that when $X$ and $Y$ have a joint density, the product $X Y$ is also a continuous random variable with an explicit density. Is $X+Y$ also a continuous random variable? The answer is yes, and there are various ways to see this.

The first proof uses Theorem 5.6.5. By taking $(X, Y)$ and the function $g(x, y)$ $=(x+y, y)$ (which satisfies all requirements) we see that $(X+Y, Y)$ is a continuous random vector. It then follows from Theorem $5.5 .3$ that $X+Y$ is also a continuous random variable. This trick can be used for many other functions of $X$ and $Y$, and shows that all these functions lead to continuous random variables.

In the case of the sum $X+Y$, there is, however, a more direct way to arrive at the same conclusion. It is quite simple to compute the density of $X+Y$ directly. This runs as follows. Writing $Z=X+Y$, and $f(x, y)$ for the joint density of $X$ and $Y$, we have
\begin{aligned} P(Z \leq z) & =\iint_{{(x, y): x+y \leq z}} f(x, y) d x d y \ & =\int_{x=-\infty}^{\infty} \int_{y=-\infty}^{z-x} f(x, y) d y d x \ & =\int_{u=-\infty}^{\infty} \int_{v=-\infty}^z f(u, v-u) d v d u \end{aligned}
by the substitution $u=x, v=y+x$. Now interchange the order of the integrals and it follows that
$$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) d x$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|More About the Expectation; Variance

At this point it is convenient to say a few more things about expectations. Recall that we have defined the expectation of a continuous random variable $X$ as
$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x,$$
whenever this integral is well defined. We have also seen already that
$$E(a X+b)=a E(X)+b$$

which we proved by first computing the density of the random variable $a X+b$.
We will now show that in general, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$, for continuous random variables $X$ and $Y$.

Theorem 5.8.1. Let $X$ and $Y$ be continuous random variables with finite expectations. Then
$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Sums of Random Variables

$$P(Z \leq z)=\iint_{(x, y): x+y \leq z} f(x, y) d x d y \quad=\int_{x=-\infty}^{\infty} \int_{y=-\infty}^{z-x} f(x, y) d y d x=\int_{u=-\infty}^{\infty} \int_{v=-\infty}^z f(u, v-u) d v d u$$

$$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) d x$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|More About the Expectation; Variance

$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x$$

$$E(a X+b)=a E(X)+b$$

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

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