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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|STAT7614 Random Variables on Uncountable Sample Spaces

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Random Variables on Uncountable Sample Spaces

We end this first intermezzo with some more motivation for the next chapter. We have noted in this intermezzo that very natural sample spaces can be uncountable, and that in such an uncountable sample space, certain strange subsets can exist which we can not assign a probability. This leads to serious complications if we want to define random variables on such sample spaces. As in Chapter 2, we would like to define a random variable $X$ as a function
$$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$
with the property that we can speak of the probability that $X$ takes a certain value $a$, or the probability that $a<X<b$, for instance. Hence, we would like, for instance, to assign a well defined probability to sets of the form
$${\omega \in \Omega: a<X(\omega)<b}$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Properties of Probability Measures

In the current continuous setting, probabilities are expressed in terms of Riemann integrals. It is perhaps a good idea to recall the dominated convergence theorem 3.2.4 in the higher dimensional setting, since we will use this result a number of times below.

Theorem 5.2.1 (Dominated convergence). Let $f, f_i, i=1,2, \ldots$ be positive integrable functions on $\mathbb{R}^d$, with $f_i(x) \rightarrow f(x)$ as $i \rightarrow \infty$, for all $x=\left(x_1, \ldots, x_d\right)$. Suppose in addition that there exists a function $g$ with $\int \cdots \int_{\mathbb{R}^d} g(x) d x<\infty$ such that $f_i(x) \leq g(x)$, for all $x$ and all $i$. Then
$$\lim {i \rightarrow \infty} \int \cdots \int{\mathbb{R}^d} f_i(x) d x=\int \cdots \int_{\mathbb{R}^d} f(x) d x .$$
In the following lemma we collect some properties of probability measures. In what follows, when we write $P(A)$, this implicitly means that the probability of $A$ is defined, that is, $\int_A f(x) d x$ exists for the appropriate density $f$. Recall the definition of the indicator function of an event $E$ :
$$\mathbf{1}_E(x)= \begin{cases}1 & \text { if } x \in E \ 0 & \text { if } x \notin E\end{cases}$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Random Variables on Uncountable Sample Spaces

$$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$

$$\omega \in \Omega: a<X(\omega)<b$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Properties of Probability Measures

$$\lim i \rightarrow \infty \int \cdots \int \mathbb{R}^d f_i(x) d x=\int \cdots \int_{\mathbb{R}^d} f(x) d x$$

$$\mathbf{1}_E(x)={1 \quad \text { if } x \in E 0 \quad \text { if } x \notin E$$

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