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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|Math447 Semimartingale Structures: Definition

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Definition

Let $Y^i$ be an $\mathbb{R}^{d_i}$-valued special semimartingale defined on a canonical probability space $\left(\Omega^i, \mathcal{G}^i, \mathbb{G}^i, \mathbb{P}^i\right), i=1,2$. Let $\left(\widehat{B}^i, \widehat{C}^i, \widehat{v}^i\right)$ denote the $\mathbb{G}^i$-canonical characteristics ${ }^1$ of $Y^i, i=1,2$.

It is useful in applications to assume that the law of $Y^i, i=1,2$, is uniquely determined by its characteristic triple. This uniqueness property can be verified in terms of the uniqueness of the solution to the related martingale problem (see Jacod and Shiryaev (2003), Section III.2) for details). It is satisfied in the examples presented in this section.

Definition 9.1 We say that an $\mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{R}^{d_2}$-valued process $X=\left(X^1, X^2\right)$ on the canonical probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ is a semimartingale structure for $Y^i, i=1,2$, if the following conditions hold:

• The process $X=\left(X^1, X^2\right)$ is a special semimartingale.
• The $\mathbb{F}^i$-characteristics of $X^i$, say $\left(\widetilde{B}^i, \widetilde{C}^i, \widetilde{v}^i\right)$, are equal (as functions of trajectories) to $\left(\widehat{B}^i, \widehat{C}^i, \widehat{v}^i\right)$ for $i=1,2$.

If, in addition, the process $X$ is strongly semimartingale-consistent with respect to $X^i$ for each $i=1,2$ (see Definition $5.3$ ) then we call $X$ a strong semimartingale structure for $Y^i, i=1,2$. Otherwise, we call $X$ a semi-strong semimartingale structure for $Y^i, i=1,2$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Examples

We first present an example of a semi-strong semimartingale structure and then we proceed with examples of strong semimartingale structures.

Example 9.2 Let us consider the set-up of Example 5.2. The coordinate $X^1$ of $X$ is a special semimartingale on $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}^1, \mathbb{P}\right)$, and the $\mathbb{F}^1$-jump-characteristic of $X^1$ is given as
\begin{aligned} \widetilde{v}^1\left(d s, d x_1\right)= & \delta_1\left(d x_1\right) \mathbb{E}\left(\frac{\int_s^{\infty} f(s, v) d v}{\int_s^{\infty} \int_s^{\infty} f(u, v) d u d v} \mathbb{1}{\left{s \leq T_1 \wedge T_2\right}} \mid \mathcal{F}_s^1\right) d s \ & +\mathbb{E}\left(\frac{f\left(s, T_2\right)}{\int_s^{\infty} f\left(u, T_2\right) d u} \mathbb{1}{\left{T_2<s \leq T_1\right}} \mid \mathcal{F}_s^1\right) d s \end{aligned}

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Definition

• 过程 $X=\left(X^1, X^2\right)$ 是一种特殊的半鞅。
• 这 $\mathbb{F}^i$-特点 $X^i$, 说 $\left(\widetilde{B}^i, \widetilde{C}^i, \tilde{v}^i\right)$, 等于 (作为轨迹的函数) $\left(\widehat{B}^i, \widehat{C}^i, \hat{v}^i\right)$ 为了 $i=1,2$.
如果，另外，过程 $X$ 是强半鞅一致的 $X^i$ 每个 $i=1,2$ (见定义 5.3) 然后我们调用 $X$ 一个强大的半鞅结构 $Y^i, i=1,2$. 否则，我们称 $X$ 半强半鞅结构 $Y^i, i=1,2$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingale Structures: Examples

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