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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|CS675 Simple case

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Simple case

4.11.A. Simple case. There is a trivial case where (4.88) is really easy; this is the case where the right orthogonal factors in the singular value decompositions of $A$ and $B$ are the same, that is, when
$$B=W F V^T, A=U D V^T$$
with orthogonal $n \times n$ matrices $W, U, V$ and diagonal $F, D$. This very special case is in fact of some importance-it covers the denoising situation where $B=A$, so that our goal is to denoise our observation of $A x$ given a priori information $x \in \mathcal{X}$ on $x$. In this situation, setting $W^T H^T U=G$, problem (4.88) becomes
$$\mathrm{Opt}=\min G\left{|F-G D|^2+\sigma^2|G|_F^2\right}$$ Now goes the concluding part of the exercise: 4) Prove that in the situation in question an optimal solution $G*$ to (4.90) can be selected to be diagonal, with diagonal entries $\gamma_i, 1 \leq i \leq n$, yielded by the optimal solution to the optimization problem
$$\mathrm{Opt}=\min \gamma\left{f(G):=\max {i \leq n}\left(\phi_i-\gamma_i \delta_i\right)^2+\sigma^2 \sum_{i=1}^n \gamma_i^2\right} \quad\left[\phi_i=F_{i i}, \delta_i=D_{i i}\right] .$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|The construction

The construction. Our key observation is that when passing from representations of $x$ and $\omega$ “as they are” to their Discrete Fourier Transforms, the situation simplifies dramatically. Specifically, for matrices $y, x$ of the same sizes, let $y \bullet z$ be the entrywise product of $y$ and $z:[y \bullet z]{p q}=y{p q} z_{p q}$. Setting
$$\alpha=2 \mu+m, \beta=2 \nu+n$$
let $F_{\alpha, \beta}$ be the 2D discrete Fourier Transform-a linear mapping from the space

$\mathbf{C}^{\alpha \times \beta}$ onto itself given by
$$\left[F_{\alpha, \beta} y\right]{r s}=\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \sum{\substack{0 \leq p<\alpha, 0 \leq q<\beta}} y_{p q} \exp \left{-\frac{2 \pi i r}{\alpha}-\frac{2 \pi i s}{\beta}\right},$$
where $i$ is the imaginary unit. It is well known that it is a unitary transformation which is easy to compute (it can be computed in $O(\alpha \beta \ln (\alpha \beta))$ arithmetic operations) which “nearly diagonalizes” the convolution: whenever $x \in \mathbf{R}^{m \times n}$, setting
$$x^{+}=\left[\begin{array}{c|c} x & 0_{m \times 2 \nu} \ \hline 0_{2 \mu \times n} & 0_{2 \mu \times 2 \nu} \end{array}\right] \in \mathbf{R}^{\alpha \times \beta}$$
we have
$$F_{\alpha, \beta}(x \star \kappa)=\chi \bullet\left[F_{\alpha, \beta} x^{+}\right]$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Simple case

4.11.A. 简单的穼例。有一个简单的情况，其中 (4.88) 真的很容易；在这种情况下，奇异值分解中的右正交因子 $A$ 和 $B$ 是一样的，也就是说，当
$$B=W F V^T, A=U D V^T$$

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|The construction

$$\alpha=2 \mu+m, \beta=2 \nu+n$$

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$$F_{\alpha, \beta}(x \star \kappa)=\chi \bullet\left[F_{\alpha, \beta} x^{+}\right]$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。