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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EECS559 Application to signal recovery

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用,如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计(最佳实验设计)、和结构优化,其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EECS559 Application to signal recovery

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Application to signal recovery

Application to signal recovery. Proposition $4.37$ allows us to build computation-based lower risk bounds in the signal recovery problem considered in Section 4.2, in particular, the problem where one wants to recover the linear image $B x$ of an unknown signal $x$ known to belong to a given ellitope
$$
\mathcal{X}=\left{x \in \mathbf{R}^n: \exists t \in \mathcal{T}: x^T S_{\ell} x \leq t_{\ell}, \ell \leq L\right}
$$
(with our usual restriction on $S_{\ell}$ and $\mathcal{T}$ ) via observation
$$
\omega=A x+\sigma \xi, \xi \sim \mathcal{N}\left(0, I_m\right)
$$
and the risk of a candidate estimate, as in Section 4.2, is defined according to (4.113). ${ }^{22}$ It is convenient to assume that the matrix $B$ (which in our general setup can be an arbitrary $\nu \times n$ matrix) is a nonsingular $n \times n$ matrix. ${ }^{23}$ Under this assumption, setting
$$
\mathcal{Y}=B^{-1} \mathcal{X}=\left{y \in \mathbf{R}^n: \exists t \in \mathcal{T}: y^T\left[B^{-1}\right]^T S_{\ell} B^{-1} y \leq t_{\ell}, \ell \leq L\right}
$$
and $\bar{A}=A B^{-1}$, we lose nothing when replacing the sensing matrix $A$ with $\bar{A}$ and treating as our signal $y \in \mathcal{Y}$ rather than $\mathcal{X}$. Note that in our new situation $A$ is replaced with $\bar{A}, \mathcal{X}$ with $\mathcal{Y}$, and $B$ is the unit matrix $I_n$. For the sake of simplicity, we assume from now on that $A$ (and therefore $\bar{A}$ ) has trivial kernel. Finally, let $\tilde{S}{\ell} \succeq S{\ell}$ be close to $S_k$ positive definite matrices, e.g., $\tilde{S}{\ell}=S{\ell}+10^{-100} I_n$. Setting $\bar{S}{\ell}=\left[B^{-1}\right]^T \tilde{S}{\ell} B^{-1}$ and
$$
\overline{\mathcal{Y}}=\left{y \in \mathbf{R}^n: \exists t \in \mathcal{T}: y^T \bar{S}{\ell} y \leq t{\ell}, \ell \leq L\right}
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower-bounding

Lower-bounding Risk $\mathrm{opt}$. In order to make the bounding scheme just outlined give its best, we need a mechanism which allows us to generate $k$-dimensional “disks” $\Theta \subset \overline{\mathcal{Y}}$ along with associated quantities $r, \gamma$. In order to design such a mechanism, it is convenient to represent $k$-dimensional linear subspaces of $\mathbf{R}^n$ as the image spaces of orthogonal $n \times n$ projectors $P$ of rank $k$. Such a projector $P$ gives rise to the disk $\Theta_P$ of the radius $r=r_P$ contained in $\overline{\mathcal{Y}}$, where $r_P$ is the largest $\rho$ such that the set $\left{y \in \operatorname{Im} P: y^T P y \leq \rho^2\right}$ is contained in $\overline{\mathcal{Y}}$ (“condition $\left.\mathcal{C}(r)^{\prime \prime}\right)$, and we can equip the disk with $\gamma$ satisfying (ii) if and only if
$$
\operatorname{Tr}\left(P \bar{A}^T \bar{A} P\right) \leq \gamma
$$
or, which is the same (recall that $P$ is an orthogonal projector)
$$
\operatorname{Tr}\left(\bar{A} P \bar{A}^T\right) \leq \gamma
$$
(“condition $\mathcal{D}(\gamma)$ “). Now, when $P$ is a nonzero orthogonal projector, the simplest sufficient condition for the validity of $\mathcal{C}(r)$ is the existence of $t \in \mathcal{T}$ such that
$$
\forall\left(y \in \mathbf{R}^n, \ell \leq L\right): y^T P \bar{S}{\ell} P y \leq t{\ell} r^{-2} y^T P y
$$
or, which is the same,
$$
\exists s: r^2 s \in \mathcal{T} \& P \bar{S}{\ell} P \preceq s{\ell} P, \ell \leq L
$$

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凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Application to signal recovery

问题 $B x$ 末知信号 $x$ 已知属于给定的椭圆形

《left 缺少或无法识别的分隔符
(我们通常限制 $S_{\ell}$ 和 $\mathcal{T}$ ) 通过观察
$$
\omega=A x+\sigma \xi, \xi \sim \mathcal{N}\left(0, I_m\right)
$$
和第 $4.2$ 节中的候选估计的风险是根据 (4.113) 定义的。 ${ }^{22}$ 可以方便地假设矩阵 $B$ (在我们的一般设置中可以是任意的 $\nu \times n$ 矩 阵) 是非奇异的 $n \times n$ 矩阵。 ${ }^{23}$ 在这个假设下,设置
〈left 缺少或无法识别的分隔符
和 $\bar{A}=A B^{-1}$ ,我们在更换传感矩阵时没有捑失 $A$ 和 $\bar{A}$ 并视为我们的信号 $y \in \mathcal{Y}$ 而不是 $\mathcal{X}$. 请注意,在我们的新情况下 $A$ 被替换为 $\bar{A}, \mathcal{X} \mathcal{x}$ 和 $\mathcal{Y}$ ,和 $B$ 是单位矩阵 $I_n$. 为了简单起见,我们假设从现在开始 $A$ (因此 $\left.\bar{A}\right)$ 具有微不足道的内核。最后,让 $\bar{S} \ell \succeq S \ell$ 接近 $S_k$ 正定矩阵,例如, $\bar{S} \ell=S \ell+10^{-100} I_n$. 环䪭 $\bar{S} \ell=\left[B^{-1}\right]^T \bar{S} \ell B^{-1}$ 和
、left 缺少或无法识别的分隔符

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lower-bounding


下限风险 opt. 为了使刚刚概述的边界方䅁发挥最大作用,我们需要一种机制来生成 $k$-维“磁盘” $\Theta \subset \overline{\mathcal{Y}}$ 连同相关数量 $r, \gamma$. 为了设 计这样的机制,可以方便地表示 $k$-维线性子空间 $\mathbf{R}^n$ 作为正交的图像空间 $n \times n$ 投影仪 $P$ 等级的 $k$. 这样的投影仪 $P$ 产生緼盘 $\Theta_P$ 半 $\mathcal{C}(r)^{\prime \prime}$ ),我们可以为磁盘配备 $\gamma$ 满足 (ii) 当且仅当
$$
\operatorname{Tr}\left(P \bar{A}^T \bar{A} P\right) \leq \gamma
$$
或者,这是相同的 (回想一下 $P$ 是一个正交投影仪)
$$
\operatorname{Tr}\left(\bar{A} P \bar{A}^T\right) \leq \gamma
$$
(“健康) 状兄 $\mathcal{D}(\gamma)$ “) 。现在,当 $P$ 是一个非零正交投影仪,是有效的最简单的充分条件 $\mathcal{C}(r)$ 是存在的 $t \in \mathcal{T}$ 这样
$$
\forall\left(y \in \mathbf{R}^n, \ell \leq L\right): y^T P \bar{S} \ell P y \leq t \ell r^{-2} y^T P y
$$
或龶,这是相同的,
$$
\exists s: r^2 s \in \mathcal{T} \& P \bar{S} \ell P \preceq s \ell P, \ell \leq L
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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