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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|Math323 Sequence and Series of Functions

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Sequence and Series of Functions

Suppose we have real valued functions $f_1, f_2, \ldots$ defined on an interval $I$. Then, for each $x \in I$, we have a sequence $\left(f_n(x)\right)$ of real numbers. Suppose $\left(f_n(x)\right)$ converges at each $x \in I$ to say, $f(x)$. Some of the natural questions that one would like to ask are the following:
(i) If each $f_n$ is continuous, then is $f$ continuous?
(ii) If each $f_n$ is differentiable on $(a, b) \subseteq I$, then is $f$ differentiable on $(a, b)$, and if so, is it true that $f^{\prime}(x)=\lim {n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)$ for each $x \in(a, b)$ ? (iii) If each $f_n$ is Riemann integrable on $[a, b] \subseteq I$, then is $f$ Riemann integrable on $[a, b]$, and if so, is it true that $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim {n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d} x$ ?

If $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converges for each $x \in I$ to $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_j(x)$ and if $g_n(x)=\sum_{j=1}^n f_j(x)$ for $n \in \mathbb{N}$ and for each $x \in I$, then questions (i), (ii), (iii) above can be asked about $g_n$ and $g$ in place of $f_n$ and $f$, respectively.
The purpose of this chapter is to discuss the above questions and many other related issues. We shall also deal with the convergence of a special case of the series of functions, namely the power series.

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Pointwise Convergence and Uniform Convergence

Analogous to the concepts of sequence and series of numbers, we have the concepts of sequence and series of functions.

Definition 5.1.1 For each $n \in \mathbb{N}$, let $f_n$ be a (real valued) function defined on an interval $I$. Then, we say that $\left(f_n\right)$ is a sequence of functions defined on $I$.

Definition 5.1.2 Let $\left(f_n\right)$ be a sequence of functions defined on an interval $I$. We say that
(1) $\left(f_n\right)$ converges at a point $x_0 \in I$, if the sequence $\left(f_n\left(x_0\right)\right)$ of real numbers converges;
(2) $\left(f_n\right)$ converges pointwise on $I$, if it converges at every $x \in I$.
Suppose $\left(f_n\right)$ converges pointwise on $I$. Then, we can define a function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ by
$$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x), \quad x \in I$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Sequence and Series of Functions

(i) 如果每个 $f_n$ 是连续的，那么是 $f$ 连续的?
(ii) 如果每个 $f_n$ 可微分于 $(a, b) \subseteq I$ ，那么是 $f$ 可微 $(a, b)$ ，如果是这样，那是真的吗 $f^{\prime}(x)=\lim n \rightarrow \infty f_n^{\prime}(x)$ 每个 $x \in(a, b)$ ? (iii) 如果每个 $f_n$ 黎曼可积于 $[a, b] \subseteq I$ ，那么是 $f$ 黎 曼可积 $[a, b]$ ，如果是这样，那是真的吗 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim n \rightarrow \infty \int_a^b f_n(x) \mathrm{d} x$ ?

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Pointwise Convergence and Uniform Convergence

(1) $\left(f_n\right)$ 收敛于一点 $x_0 \in I$ ，如果序列 $\left(f_n\left(x_0\right)\right)$ 实数收敛；
(2) $\left(f_n\right)$ 逐点收敛于 $I$, 如果它收敛于每个 $x \in I$.

$$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x), \quad x \in I$$

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