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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|MAST10006 of a material line in the plane

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|of a material line in the plane

Suppose a curve $L$ is given by the equation $y=f(x), a \leq x \leq b$. We assume that this curve is a material line. Suppose the density of the material at the point $X=(x, y)$ is $\gamma(X)$.

Now, in order to find the moment of inertia of $L$, we first consider a partition $P: a=x_0<x_1<\ldots<x_k=b$, and take points $\xi_i=\left[x_{i-1}, x_i\right], i=1, \ldots, n$. Then we consider the moment of inertia of the system of material points at $\left(\xi_1, \eta_i\right), i=$ $1, \ldots, n$. Here, $\eta_i=f\left(\xi_i\right), i=1, \ldots, n$.
$$I_{O, P}:=\sum_{i=1}^n\left(\xi_i^2+\eta_i^2\right) m_i$$
Thus,
$$I_{O, P}:=\sum_{i=1}^n\left(\xi_i^2+\eta_i^2\right) \gamma_i \Delta s_i$$
Here, $\Delta s_i$ is the length of the arcs joining $\left(x_{i-1}, y_{i-1}\right)$ to $\left(x_i, y_i\right)$, and $\gamma_i$ is the density at the point $\left(\xi_i, \eta_i\right)$. Note that $\gamma_i \Delta s_i$ is the approximate mass of the arc joining $\left(x_{i-1}, f\left(x_{i-1}\right)\right)$ to $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)$. Now, assuming that the functions $f(x)$ and $\tilde{\gamma}(x):=\gamma(x, f(x))$ are continuous on $[a, b]$, the moment of inertia of $L$ with respect to $O$ is
$$I_O=\lim {\mu(P) \rightarrow 0} I{O, P}=\lim {\mu(P) \rightarrow 0} \sum{i=1}^n\left(\xi_i^2+\eta_i^2\right) \gamma_i \Delta s_i$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|of a circular arc with respect to the centre

Suppose the given curve is a circular arc: $\rho=a, \alpha \leq \theta \leq \beta$. Following the arguments in the above paragraph, we compute the moment of inertia using polar coordinates:

The moment of inertia, in this, case is given by
$$I_O:=\lim {\mu(P) \rightarrow 0} \sum{i=1}^n d_i^2 m_i,$$
where $d_i=a, m_i=\gamma_i a \Delta \theta_i$, for $i=1, \ldots, n$, with $\gamma(\theta)$ being the point density. Hence,
$$I_O=\lim {\mu(P) \rightarrow 0} \sum{i=1}^n a^2 \gamma_i\left[a \Delta \theta_i\right] .$$
Thus,
$$I_O=a^3 \int_\alpha^\beta \gamma(\theta) \mathrm{d} \theta .$$

## 数学代与|微积分代马Calculus代峃|of a material line in the plane

$$I_{O, P}:=\sum_{i=1}^n\left(\xi_i^2+\eta_i^2\right) m_i$$

$$I_{O, P}:=\sum_{i=1}^n\left(\xi_i^2+\eta_i^2\right) \gamma_i \Delta s_i$$

$$I_O=\lim \mu(P) \rightarrow 0 I O, P=\lim \mu(P) \rightarrow 0 \sum i=1^n\left(\xi_i^2+\eta_i^2\right) \gamma_i \Delta s_i$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|of a circular arc with respect to the centre

$$I_O:=\lim \mu(P) \rightarrow 0 \sum i=1^n d_i^2 m_i$$

$$I_O=\lim \mu(P) \rightarrow 0 \sum i=1^n a^2 \gamma_i\left[a \Delta \theta_i\right]$$

$$I_O=a^3 \int_\alpha^\beta \gamma(\theta) \mathrm{d} \theta$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。