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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|MATH1051 Integral Test for Series of Numbers

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integral Test for Series of Numbers

Recall that, in Example 1.2.9, we have proved the convergence of the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ for $p>1$ by using the fact that the sequence $\left(a_n\right)$ with
$$a_n=\int_1^n \frac{\mathrm{d} x}{x^p}, \quad n \in \mathbb{N}$$

converges. Now, we obtain a general procedure for showing the convergence or divergence of a series of positive terms by using the convergence or divergence of an appropriate improper integral. First we observe the following result (Exercise):
Suppose $f$ is defined on $[a, \infty)$ with values in $[0, \infty)$. Then $\int_a^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$ converges if and only if $\lim {n \rightarrow \infty} \int_a^n f(x) \mathrm{d} x$ exists. Theorem 4.2.3 (Integral test) Let $f$ be a continuous positive and decreasing function defined on $[1, \infty)$. Then $$\sum{n=1}^{\infty} f(n) \text { converges } \Longleftrightarrow \int_1^{\infty} f(x) d x \text { converges. }$$
Proof We observe that, for each $k \in \mathbb{N}$,
\begin{aligned} k \leq x \leq k+1 & \Rightarrow f(k+1) \leq f(x) \leq f(k) \ & \Rightarrow f(k+1) \leq \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leq f(k) . \end{aligned}

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integrability Using Limits

Now we prove a result which facilitates the assertion of convergence and divergence of improper integrals.
Theorem 4.2.4 Suppose

1. $f(x) \geq 0, g(x)>0$ for all $x \in[a, \infty)$,
2. $\int_a^b f(x) d x$ and $\int_a^b g(x) d x$ exist for every $b>a$,
3. $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \ell$ as $x \rightarrow \infty$ for some $\ell \geq 0$.
Then the following hold.
(i) If $\ell>0$, then $\int_a^{\infty} f(x) d x$ converges $\Longleftrightarrow \int_a^{\infty} g(x) d x$ converges.
(ii) If $\ell=0$ and $\int_a^{\infty} g(x) d x$ converges, then $\int_a^{\infty} f(x) d x$ converges.
Further, if $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \infty$ as $x \rightarrow \infty$ and $\int_a^{\infty} f(x) d x$ converges, then $\int_a^{\infty} g(x) d x$ converges.
Proof Suppose $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \ell$ as $x \rightarrow \infty$ for some $\ell \geq 0$.
(i) Suppose $\ell \neq 0$. Then $\ell>0$, and for $\varepsilon>0$ with $\ell-\varepsilon>0$, there exists $x_0 \geq a$ such that
$$\ell-\varepsilon<\frac{f(x)}{g(x)}<\ell+\varepsilon \quad \forall x \geq x_0 .$$
Hence
$$(\ell-\varepsilon) g(x)<f(x)<(\ell+\varepsilon) g(x) \quad \forall x \geq x_0 .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integral Test for Series of Numbers

$$a_n=\int_1^n \frac{\mathrm{d} x}{x^p}, \quad n \in \mathbb{N}$$

$$\sum n=1^{\infty} f(n) \text { converges } \Longleftrightarrow \int_1^{\infty} f(x) d x \text { converges. }$$

$$k \leq x \leq k+1 \Rightarrow f(k+1) \leq f(x) \leq f(k) \quad \Rightarrow f(k+1) \leq \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leq f(k) .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integrability Using Limits

1. $f(x) \geq 0, g(x)>0$ 对全部 $x \in[a, \infty)$,
2. $\int_a^b f(x) d x$ 和 $\int_a^b g(x) d x$ 存在于每个 $b>a$,
3. $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \ell$ 作为 $x \rightarrow \infty$ 对于一些 $\ell \geq 0$.
然后下面的hold。
(i) 如果 $\ell>0$ ，然后 $\int_a^{\infty} f(x) d x$ 收敛 $\Longleftrightarrow \int_a^{\infty} g(x) d x$ 收敛。
(ii) 如果 $\ell=0$ 和 $\int_a^{\infty} g(x) d x$ 收敛，那么 $\int_a^{\infty} f(x) d x$ 收敛。
此外，如果 $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \infty$ 作为 $x \rightarrow \infty$ 和 $\int_a^{\infty} f(x) d x$ 收敛，那么 $\int_a^{\infty} g(x) d x$ 收敛。
证明假设 $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \ell$ 作为 $x \rightarrow \infty$ 对于一些 $\ell \geq 0$.
(我想 $\ell \neq 0$. 然后 $\ell>0$, 对于 $\varepsilon>0$ 和 $\ell-\varepsilon>0$ ， 那里存在 $x_0 \geq a$ 这样
$$\ell-\varepsilon<\frac{f(x)}{g(x)}<\ell+\varepsilon \quad \forall x \geq x_0 .$$
因此
$$(\ell-\varepsilon) g(x)<f(x)<(\ell+\varepsilon) g(x) \quad \forall x \geq x_0$$

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