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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Faithfully Flat Descent

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Faithfully Flat Descent

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Faithfully Flat Descent

8.8.1. – Let $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ be a faithfully flat morphism of commutative rings. Set $\mathrm{C}=\mathrm{B} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{B}$; there are two ring morphisms $g_1, g_2: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$, respectively given by $g_1(b)=b \otimes 1$ and $g_2(b)=1 \otimes b$, so that $g=g_2-g_1$. Consequently, the exactness of the complex $\mathscr{D}_f$ asserted by theorem 8.7.10 says that the ring A can be recovered from $B$ as the subring where these two ring morphisms coincide.

8.8.2. – Let $M$ be an A-module, write $M_B=B \otimes_A M$ and $M_C=C \otimes_A M=$ $\mathrm{B} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{M}{\mathrm{B}}$. By base change, these are a B-module and a C-module respectively, and we may view $\mathrm{M}{\mathrm{C}}$ as a B-module in two ways, via $g_1$ or $g_2$. The map $g_1^{\mathrm{M}}=g_1 \otimes \mathrm{id}{\mathrm{M}}: \mathrm{M}{\mathrm{B}} \rightarrow \mathrm{M}{\mathrm{C}}$ maps $b \otimes b$ to $b \otimes 1 \otimes m=g_1(b) \otimes m$, hence is a morphism of B-modules if $\mathrm{C}$ is viewed as a B-module via $g_1$; similarly, the map $g_2^{\mathrm{M}}=g_2 \otimes \mathrm{id}{\mathrm{M}}$ is a morphism of $\mathrm{B}$-modules if $\mathrm{C}$ is viewed as a B-module via $g_2$. Moreover, theorem 8.7.10 asserts that $\mathrm{M}$ can be recovered from $\mathrm{M}_{\mathrm{B}}$ as the A-submodule where these two morphisms coincide.

It is therefore natural to ask which properties of the A-module $\mathrm{M}$ can be witnessed on the B-module $\mathrm{M}{\mathrm{B}}$. Similarly, a morphism $u: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{M}^{\prime}$ of $\mathrm{A}-$ modules gives rise to a morphism of B-modules $u{\mathrm{B}}=\mathrm{id}{\mathrm{B}} \otimes u$, and one may wonder what properties of $u$ are witnessed by $u{\mathrm{B}}$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Galois Descent

Proposition (8.9.1). – Let $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ be a finite extension of fields. The following properties are equivalent:
(i) The extension is Galois;
(ii) There exists a finite set $\mathrm{I}$ and an isomorphism of $\mathrm{L}$-algebras $\mathrm{L} \otimes_{\mathrm{K}} \mathrm{L} \simeq \mathrm{L}^{\mathrm{I}}$.
Assume that they hold and let $\mathrm{G}=\mathrm{Gal}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$. There exists a unique morphism of $\mathrm{K}$-algebras from $\mathrm{L} \otimes \mathrm{K} \mathrm{L}$ to $\mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ such that $a \otimes b \mapsto(a \sigma(b)){\sigma \in \mathrm{G}}$, and this morphism is an isomorphism of L-algebras. Proof. – Assume that the extension $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ is Galois and let $\mathrm{G}=\mathrm{Gal}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$. The map from $\mathrm{L} \times \mathrm{L}$ to $\mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ given by $(a, b) \mapsto(a \sigma(b)){\sigma \in \mathrm{G}}$ is K-bilinear, hence there exists a unique morphism of $\mathrm{K}$-algebras $\varphi: \mathrm{L} \otimes_{\mathrm{K}} \mathrm{L} \rightarrow \mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ such that $\varphi(a \otimes b)=(a \sigma(b)){\sigma \in \mathrm{G}}$ for all $a, b \in \mathrm{L}$. It is also L-linear when $\mathrm{L} \otimes{\mathrm{K}} \mathrm{L}$ is viewed as an L-algebra via the morphism $a \mapsto a \otimes 1$.

Let us prove that $\varphi$ is injective. Let $\left(b_1, \ldots, b_d\right)$ be a basis of $\mathrm{L}$ as a $\mathrm{K}$-vector space; then $\left(1 \otimes b_1, \ldots, 1 \otimes b_d\right)$ is a basis of $\mathrm{L} \otimes \mathrm{K} \mathrm{L}$ as an L-vector space. Let $\left(a_1, \ldots, a_d\right) \in \mathrm{L}^d$ be such that $\varphi\left(\sum a_i\left(1 \otimes b_i\right)\right)=0$. By assumption, this implies that $\sum_{i=1}^d a_i \sigma\left(b_i\right)=0$ for every $\sigma \in \mathrm{G}$. As a consequence, $\sum_{i=1}^d a_i \sigma(y)=0$ for every $y \in \mathrm{L}$, so that $\sum_{i=1}^d a_i \sigma=0$ in the set of K-linear morphisms from L to L. By linear independence of characters, $a_1=\cdots=a_d=0$.

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交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Faithfully Flat Descent


8.8.1. – 让 $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 是交换环的忠实平坦态射。放 $\mathrm{C}=\mathrm{B} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{B}$; 有两个环态射 $g_1, g_2: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ ,分别由 $g_1(b)=b \otimes 1$ 和 $g_2(b)=1 \otimes b$ ,以便 $g=g_2-g_1$. 因此,筫数的正确性 $\mathscr{D}f$ 定理 8.7.10 断言环 A 可以从 $B$ 作为这两个环态射重合的子环。 8.8.2. – 让 $M$ 是一个A模块,写 $M_B=B \otimes_A M$ 和 $M_C=C \otimes_A M=\mathrm{B} \otimes{\mathrm{A}}$ MB. 通过基础变化,这些分 别是一个B-module和一个C-module,我们可以查看 $M C$ 作为 $B$ 模块有两种方式,通过 $g_1$ 或者 $g_2$. 地图 $g_1^{\mathrm{M}}=g_1 \otimes \mathrm{idM}: \mathrm{MB} \rightarrow \mathrm{MC}$ 地图 $b \otimes b$ 到 $b \otimes 1 \otimes m=g_1(b) \otimes m$, 因此是 B-模的态射如果C被视为 $\mathrm{B}$ 模块通过 $g_1$; 同样,地图 $g_2^{\mathrm{M}}=g_2 \otimes \mathrm{idM}$ 是一个态射B-模块如果C被视为 B 模块通过 $g_2$. 此外,定理 8.7.10 断言 $M$ 可以从中恢筫 $M_B$ 作为这两个态射重合的 $A$ 子模。
因此很自然地要问 $\mathrm{A}$ 模块的哪些属性 $\mathrm{M}$ 可以在 $\mathrm{B}$ 模块上看到 $\mathrm{MB}$. 类似地,一个态射 $u: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{M}^{\prime}$ 的 $\mathrm{A}$-模块产 生 $\mathrm{B}$ 模块的态射 $u \mathrm{~B}=\mathrm{idB} \otimes u$ ,人们可能想知道什么属性 $u$ 被见证 $u \mathrm{~B}$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Galois Descent


命题 (8.9.1) 。一让 $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ 是域的有限扩展。以下性质是等价的:
(i) 扩展是 Galois;
(ii) 存在有限集I和同构 $\mathrm{L}-$ 代数 $\mathrm{L} \otimes_{\mathrm{K}} \mathrm{L} \simeq \mathrm{L}^{\mathrm{I}}$.
假设他们持有并让 $\mathrm{G}=\mathrm{Gal}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$. 存在唯一的态射 $\mathrm{K}$-代数来自 $\mathrm{L} \otimes \mathrm{KL}^{\text {到 }} \mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ 这样 $a \otimes b \mapsto(a \sigma(b)) \sigma \in \mathrm{G}$ ,并且这个态射是 $\mathrm{L}$ 代数的同构。证明。一假设扩展 $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ 是伽罗华,让G $=\mathrm{Gal}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$. 地图来自 $\mathrm{L} \times \mathrm{L}$ 到 $\mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ 由 $(a, b) \mapsto(a \sigma(b)) \sigma \in \mathrm{G}$ 是 $\mathrm{K}$-双线性的,因此存在唯一的态射 $\mathrm{K}$-代数 $\varphi: \mathrm{L} \otimes \mathrm{K} \mathrm{L} \rightarrow \mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ 这样 $\varphi(a \otimes b)=(a \sigma(b)) \sigma \in \mathrm{G}$ 对全部 $a, b \in \mathrm{L}$. 它也是 $\mathrm{L}$ 线性的,当 $\mathrm{L} \otimes \mathrm{KL}$ 通过态射被视为 $\mathrm{L}-$ 代数 $a \mapsto a \otimes 1$
让我们证明 $\varphi$ 是单射的。让 $\left(b_1, \ldots, b_d\right)$ 成为的基础L作为一个 $\mathrm{K}$-向量空间;然后 $\left(1 \otimes b_1, \ldots, 1 \otimes b_d\right)$ 是一 个基础 $\mathrm{L} \otimes \mathrm{KL}$ 作为 $\mathrm{L}$ 向量空间。让 $\left(a_1, \ldots, a_d\right) \in \mathrm{L}^d$ 是这样的 $\varphi\left(\sum a_i\left(1 \otimes b_i\right)\right)=0$. 根据假设,这意味 着 $\sum_{i=1}^d a_i \sigma\left(b_i\right)=0$ 每一个 $\sigma \in \mathrm{G}$. 作为结果, $\sum_{i=1}^d a_i \sigma(y)=0$ 每一个 $y \in \mathrm{L}$ ,以便 $\sum_{i=1}^d a_i \sigma=0$ 在从 $\mathrm{L}$ 到 $\mathrm{L}$ 的 $\mathrm{K}$ 线性态射的集合中。通过字符的线性独立性, $a_1=\cdots=a_d=0$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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