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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Faithfully Flat Descent

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Faithfully Flat Descent

8.8.1. – Let $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ be a faithfully flat morphism of commutative rings. Set $\mathrm{C}=\mathrm{B} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{B}$; there are two ring morphisms $g_1, g_2: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$, respectively given by $g_1(b)=b \otimes 1$ and $g_2(b)=1 \otimes b$, so that $g=g_2-g_1$. Consequently, the exactness of the complex $\mathscr{D}_f$ asserted by theorem 8.7.10 says that the ring A can be recovered from $B$ as the subring where these two ring morphisms coincide.

8.8.2. – Let $M$ be an A-module, write $M_B=B \otimes_A M$ and $M_C=C \otimes_A M=$ $\mathrm{B} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{M}{\mathrm{B}}$. By base change, these are a B-module and a C-module respectively, and we may view $\mathrm{M}{\mathrm{C}}$ as a B-module in two ways, via $g_1$ or $g_2$. The map $g_1^{\mathrm{M}}=g_1 \otimes \mathrm{id}{\mathrm{M}}: \mathrm{M}{\mathrm{B}} \rightarrow \mathrm{M}{\mathrm{C}}$ maps $b \otimes b$ to $b \otimes 1 \otimes m=g_1(b) \otimes m$, hence is a morphism of B-modules if $\mathrm{C}$ is viewed as a B-module via $g_1$; similarly, the map $g_2^{\mathrm{M}}=g_2 \otimes \mathrm{id}{\mathrm{M}}$ is a morphism of $\mathrm{B}$-modules if $\mathrm{C}$ is viewed as a B-module via $g_2$. Moreover, theorem 8.7.10 asserts that $\mathrm{M}$ can be recovered from $\mathrm{M}_{\mathrm{B}}$ as the A-submodule where these two morphisms coincide.

It is therefore natural to ask which properties of the A-module $\mathrm{M}$ can be witnessed on the B-module $\mathrm{M}{\mathrm{B}}$. Similarly, a morphism $u: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{M}^{\prime}$ of $\mathrm{A}-$ modules gives rise to a morphism of B-modules $u{\mathrm{B}}=\mathrm{id}{\mathrm{B}} \otimes u$, and one may wonder what properties of $u$ are witnessed by $u{\mathrm{B}}$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Galois Descent

Proposition (8.9.1). – Let $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ be a finite extension of fields. The following properties are equivalent:
(i) The extension is Galois;
(ii) There exists a finite set $\mathrm{I}$ and an isomorphism of $\mathrm{L}$-algebras $\mathrm{L} \otimes_{\mathrm{K}} \mathrm{L} \simeq \mathrm{L}^{\mathrm{I}}$.
Assume that they hold and let $\mathrm{G}=\mathrm{Gal}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$. There exists a unique morphism of $\mathrm{K}$-algebras from $\mathrm{L} \otimes \mathrm{K} \mathrm{L}$ to $\mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ such that $a \otimes b \mapsto(a \sigma(b)){\sigma \in \mathrm{G}}$, and this morphism is an isomorphism of L-algebras. Proof. – Assume that the extension $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{L}$ is Galois and let $\mathrm{G}=\mathrm{Gal}(\mathrm{L} / \mathrm{K})$. The map from $\mathrm{L} \times \mathrm{L}$ to $\mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ given by $(a, b) \mapsto(a \sigma(b)){\sigma \in \mathrm{G}}$ is K-bilinear, hence there exists a unique morphism of $\mathrm{K}$-algebras $\varphi: \mathrm{L} \otimes_{\mathrm{K}} \mathrm{L} \rightarrow \mathrm{L}^{\mathrm{G}}$ such that $\varphi(a \otimes b)=(a \sigma(b)){\sigma \in \mathrm{G}}$ for all $a, b \in \mathrm{L}$. It is also L-linear when $\mathrm{L} \otimes{\mathrm{K}} \mathrm{L}$ is viewed as an L-algebra via the morphism $a \mapsto a \otimes 1$.

Let us prove that $\varphi$ is injective. Let $\left(b_1, \ldots, b_d\right)$ be a basis of $\mathrm{L}$ as a $\mathrm{K}$-vector space; then $\left(1 \otimes b_1, \ldots, 1 \otimes b_d\right)$ is a basis of $\mathrm{L} \otimes \mathrm{K} \mathrm{L}$ as an L-vector space. Let $\left(a_1, \ldots, a_d\right) \in \mathrm{L}^d$ be such that $\varphi\left(\sum a_i\left(1 \otimes b_i\right)\right)=0$. By assumption, this implies that $\sum_{i=1}^d a_i \sigma\left(b_i\right)=0$ for every $\sigma \in \mathrm{G}$. As a consequence, $\sum_{i=1}^d a_i \sigma(y)=0$ for every $y \in \mathrm{L}$, so that $\sum_{i=1}^d a_i \sigma=0$ in the set of K-linear morphisms from L to L. By linear independence of characters, $a_1=\cdots=a_d=0$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Faithfully Flat Descent

8.8.1. – 让 $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 是交换环的忠实平坦态射。放 $\mathrm{C}=\mathrm{B} \otimes_{\mathrm{A}} \mathrm{B}$; 有两个环态射 $g_1, g_2: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ ，分别由 $g_1(b)=b \otimes 1$ 和 $g_2(b)=1 \otimes b$ ，以便 $g=g_2-g_1$. 因此，筫数的正确性 $\mathscr{D}f$ 定理 8.7.10 断言环 A 可以从 $B$ 作为这两个环态射重合的子环。 8.8.2. – 让 $M$ 是一个A模块，写 $M_B=B \otimes_A M$ 和 $M_C=C \otimes_A M=\mathrm{B} \otimes{\mathrm{A}}$ MB. 通过基础变化，这些分 别是一个B-module和一个C-module，我们可以查看 $M C$ 作为 $B$ 模块有两种方式，通过 $g_1$ 或者 $g_2$. 地图 $g_1^{\mathrm{M}}=g_1 \otimes \mathrm{idM}: \mathrm{MB} \rightarrow \mathrm{MC}$ 地图 $b \otimes b$ 到 $b \otimes 1 \otimes m=g_1(b) \otimes m$, 因此是 B-模的态射如果C被视为 $\mathrm{B}$ 模块通过 $g_1$; 同样，地图 $g_2^{\mathrm{M}}=g_2 \otimes \mathrm{idM}$ 是一个态射B-模块如果C被视为 B 模块通过 $g_2$. 此外，定理 8.7.10 断言 $M$ 可以从中恢筫 $M_B$ 作为这两个态射重合的 $A$ 子模。

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Galois Descent

(i) 扩展是 Galois;
(ii) 存在有限集I和同构 $\mathrm{L}-$ 代数 $\mathrm{L} \otimes_{\mathrm{K}} \mathrm{L} \simeq \mathrm{L}^{\mathrm{I}}$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。