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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Tensor Algebras, Symmetric and Exterior Algebras

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Tensor Algebras, Symmetric and Exterior Algebras

In this section, $\mathrm{A}$ is a commutative ring.
The tensor product of two modules represents bilinear maps; we first generalize the construction for multilinear maps on products of more than two modules.

Lemma (8.3.1). – Let $\left(\mathrm{M}i\right){i \in \mathrm{I}}$ be a family of $\mathrm{A}$-modules. There exists an Amodule $\mathrm{T}$ and a multilinear map $\theta: \prod_i \mathrm{M}i \rightarrow \mathrm{T}$ that possesses the following universal property: for every A-module $\mathrm{N}$ and every multilinear map $f: \Pi \mathrm{M}_i \rightarrow \mathrm{P}$, there exists a unique morphism of A-modules $\varphi: \mathrm{T} \rightarrow \mathrm{P}$ such that $\varphi \circ \theta=f$. Proof. – Let $\mathrm{F}$ be the free A-module with basis $\prod_i \mathrm{M}_i$. For any element $m=\left(m_i\right){i \in \mathrm{I}}$ of $\prod_i \mathrm{M}_i$, one writes $e_m$ for the corresponding basis element of $\mathrm{F}$. One then defines $\mathrm{T}$ as the quotient of the free A-module F by the submodule $\mathrm{R}$ generated by the following elements:

• the elements $e_m-e_{m^{\prime}}-e_{m^{\prime \prime}}$ whenever $m=\left(m_i\right), m^{\prime}=\left(m_i^{\prime}\right), m^{\prime \prime}=\left(m_i^{\prime \prime}\right)$ are three elements of $\prod_i \mathrm{M}_i$ for which there exists a $j \in \mathrm{I}$ such that $m_i=m_i^{\prime}=m_i^{\prime \prime}$ if $i \neq j$, and $m_j=m_j^{\prime}+m_j^{\prime \prime} ;$
• the elements $a e_m-e_{m^{\prime}}$ whenever $a \in \mathrm{A}$ and $m=\left(m_i\right), m^{\prime}=\left(m_i^{\prime}\right)$ are two elements of $\prod_i \mathrm{M}_i$ for which there exists a $j \in \mathrm{I}$ such that $m_i=m_i^{\prime}$ if $i \neq j$, and $m_j^{\prime}=a m_j$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The tensor algebra

8.3.5. The tensor algebra $-$ Let $M$ be an A-module. Set $\mathrm{M}0=\mathrm{A}$ and, for any positive integer $n$, let $\mathrm{M}_n$ be the tensor product of $n$ copies of the Amodule M. Modulo the associativity isomorphisms, we have $\mathrm{M}_n=\mathrm{M}_p \otimes{\mathrm{A}} \mathrm{M}_q$ whenever $p, q, n$ are non-negative integers such that $p+q=n$. The map $\left(m_1, \ldots, m_n\right) \mapsto m_1 \otimes \cdots \otimes m_n$ from $\mathrm{M}^n$ to $\mathrm{M}_n$ is $n$-linear and the module $\mathrm{M}_n$ satisfies the following universal property: for every n-linear map f from $\mathrm{M}^n$ to an A-module P, there exists a unique morphism of A-modules, $\varphi: \mathrm{M}_n \rightarrow \mathrm{P}$, such that $\varphi\left(m_1 \otimes \cdots \otimes m_n\right)=f\left(m_1, \ldots, m_n\right)$ for every $\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathrm{M}^n$.

If $\mathrm{M}$ is free and $\left(e_i\right){i \in \mathrm{I}}$ is a basis of $\mathrm{M}$, then for every $n \in \mathbf{N}$, the Amodule $\mathrm{M}_n$ is free with basis the family $\left(e{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_n}\right)$ indexed by $\left(i_1, \ldots, i_n\right) \in$ $\mathrm{I}^n$. Indeed, this follows from proposition 8.3.4.

Let $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ be the direct sum of all A-modules $\mathrm{M}_n$, for $n \in \mathbf{N}$. The submodule $M_n$ of $T(M)$ will be written $T^n(M)$. An element of $T^n(M)$ will be said to be of degree $n$.

The associativity isomorphisms $\mathrm{M}p \otimes \mathrm{M}_q \simeq \mathrm{M}{p+q}$ furnish bilinear maps $\mathrm{T}^p(\mathrm{M}) \times \mathrm{T}^q(\mathrm{M}) \rightarrow \mathrm{T}^{p+q}(\mathrm{M})$, for $p, q \geq 0$. There is a unique structure of an Aalgebra on the A-module $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ of which multiplication law is given by these maps. The resulting algebra is called the tensor algebra of the A-module $\mathrm{M}$. It contains $\mathrm{M}=\mathrm{T}^1(\mathrm{M})$ as a submodule. The elements $m$, for $m \in \mathrm{M}=\mathrm{T}^1(\mathrm{M})$, generate $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ as an A-algebra.

This algebra satisfies the following universal property: For every A-algebra (associative, with unit) B, and every morphism of A-modules $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{B}$, there exists a unique morphism of A-algebras, $\varphi: \mathrm{T}(\mathrm{M}) \rightarrow \mathrm{B}$, such that $\varphi(m)=f(m)$ for every $m \in \mathrm{M}$.

If $\mathrm{M}$ is free with basis $\left(e_i\right){i \in \mathrm{I}}$, then $\mathrm{T}(\mathrm{M})$ is a free A-module with basis the disjoint union of the bases $1 \in \mathrm{T}^0(\mathrm{M})$ and $e{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_n}$ for $\left(i_1, \ldots, i_n\right) \in \mathrm{I}^n$ and $n \geq 1$.

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• 要素 $e_m-e_{m^{\prime}}-e_{m^{\prime \prime}}$ 每当 $m=\left(m_i\right), m^{\prime}=\left(m_i^{\prime}\right), m^{\prime \prime}=\left(m_i^{\prime \prime}\right)$ 是三个元素 $\prod_i \mathrm{M}_i$ 为此 存在一个 $j \in \mathrm{I}$ 这样 $m_i=m_i^{\prime}=m_i^{\prime \prime}$ 如果 $i \neq j$ ，和 $m_j=m_j^{\prime}+m_j^{\prime \prime}$; $j \in \mathrm{I}$ 这样 $m_i=m_i^{\prime}$ 如果 $i \neq j ， \quad$ 和 $m_j^{\prime}=a m_j$

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8.3.5. 张量代数一让 $M$ 是一个A模块。放 $\mathrm{M} 0=\mathrm{A}$ 并且，对于任何正整数 $n$ ，让 $\mathrm{M}n$ 是的张量积 $n$ Amodule $\mathrm{M}$ 的副本。模结合性同构，我们有 $\mathrm{M}_n=\mathrm{M}_p \otimes \mathrm{AM}_q$ 每当 $p, q, n$ 是非负整数使得 $p+q=n$. 地图 $\left(m_1, \ldots, m_n\right) \mapsto m_1 \otimes \cdots \otimes m_n$ 从 $\mathrm{M}^n$ 到 $\mathrm{M}_n$ 是 $n$-线性和模 $\mathrm{M}_n$ 满足以下通 用属性: 对于来自的每个 $\mathrm{n}$ 线性映射 $\mathrm{fM}^n$ 对于 $\mathrm{A}$ 模 $\mathrm{P}$ ，存在 $\mathrm{A}$ 模的唯一态射, $\varphi: \mathrm{M}_n \rightarrow \mathrm{P}$ ，这样 $\varphi\left(m_1 \otimes \cdots \otimes m_n\right)=f\left(m_1, \ldots, m_n\right)$ 每一个 $\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathrm{M}^n$. 如果 $\mathrm{M}$ 是免费的，并且 $\left(e_i\right) i \in \mathrm{I}$ 是一个基础 $\mathrm{M}$, 那么对于每个 $n \in \mathbf{N}$, 模组 $\mathrm{M}_n$ 以家庭为基础免费 $\left(e i_1 \otimes \cdots \otimes e{i_n}\right)$ 被索引 $\left(i_1, \ldots, i_n\right) \in \mathrm{I}^n$. 实际上，这是从命题 8.3.4 得出的。

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