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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 Heights and Dimension

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 Heights and Dimension

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Heights and Dimension

Proposition (9.5.1). – Let A be an integral domain, let $\mathrm{E}$ be its field of fractions and let $\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{F}$ be a finite normal extension of fields. Assume that $\mathrm{A}$ is integrally closed in $\mathrm{E}$ and let $\mathrm{B}$ the integral closure of $\mathrm{A}$ in $\mathrm{F}$.

For every prime ideal $\mathrm{P}$ of $\mathrm{A}$, the group $\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$ acts transitively on the set of prime ideals $\mathrm{Q}$ of $\mathrm{B}$ such that $\mathrm{Q} \cap \mathrm{A}=\mathrm{P}$.

Proof. – Let $\mathrm{G}=\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$. It is a finite group of automorphisms of $\mathrm{F}$; the subfield $\mathrm{F}^{\mathrm{G}}$ of $\mathrm{F}$ is a radicial extension of $\mathrm{E}$ (corollary 4.6.9) and $\mathrm{F}^{\mathrm{G}} \subset \mathrm{F}$ is a Galois extension of group $G$ (Artin’s lemma 4.6.4).

First of all, according to the going up theorem (theorem 9.3.9), the set of prime ideals $Q$ of $B$ such that $Q \cap A=P$ is non-empty.
Let $Q$ and $Q^{\prime}$ be two prime ideals of $B$ such that $Q \cap A=Q^{\prime} \cap A=P$.
Let $x \in \mathrm{Q}^{\prime}$ and let $y=\prod_{\sigma \in \mathrm{G}} \sigma(x)$; since $y \in \mathrm{F}^{\mathrm{G}}$ and since the extension $\mathrm{E} \rightarrow$ $\mathrm{F}^{\mathrm{G}}$ is radicial, there exists an integer $q \geq 1$ such that $y^q \in \mathrm{E}$ (lemma 4.4.16; one has $q=1$ if the characteristic of $\mathrm{E}$ is zero).

By definition of $\mathrm{B}, x$ is integral over $\mathrm{A}$, as well as its images $\sigma(x)$, for $\sigma \in \mathrm{G}$. Consequently, $y$ is integral over $\mathrm{A}$, hence $y^q$ is integral over $\mathrm{A}$. Since $y^q \in \mathrm{E}$ and $\mathrm{A}$ is integrally closed in $\mathrm{E}$, one has $y^q \in \mathrm{A}$. Since $x \in \mathrm{Q}^{\prime}$, it follows that $y^q \in Q^{\prime} \cap A=P$. Using that $P=Q \cap A$, we deduce that $y^q \in Q$. Finally, since $Q$ is a prime ideal, we conclude that $y \in Q$.

Moreover, since $y=\prod_{\sigma \in \mathrm{G}} \sigma(x)$, there exists an element $\sigma \in \mathrm{G}$ such that $\sigma(x) \in Q$. Since $G$ is a group, this gives the inclusion $Q^{\prime} \subset \bigcup_{\sigma \in G} \sigma(Q)$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Dedekind Rings

Definition (9.6.1). – Let A be an integral domain. One says that $\mathrm{A}$ is a Dedekind ring if every ideal of $\mathrm{A}$ is a projective A-module.
Example (9.6.2). – (i) A field is a Dedekind ring.
(ii) Since non-zero principal ideals of an integral domain A are free Amodules of rank 1 , any principal ideal domain is a Dedekind ring.
(iii) Let $\mathrm{A}$ be a Dedekind ring and let $\mathrm{S}$ be a multiplicative subset of $\mathrm{A}$. Then $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{~A}$ is a Dedekind ring.

Indeed, let $\mathrm{J}$ be an ideal of $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{~A}$. There exists an ideal $\mathrm{I}$ of $\mathrm{A}$ such that $\mathrm{J}=$ $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{I}$. Since $\mathrm{A}$ is a Dedekind ring, the A-module $\mathrm{I}$ is projective. Consequently, the $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{~A}$-module $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{I}$ is projective (example 7.3.5).
9.6.3. – Let $\mathrm{A}$ be an integral domain and let $\mathrm{K}$ be its field of fractions.
The set $\mathscr{I}(\mathrm{A})$ of non-zero ideals of $\mathrm{A}$ is a commutative monoid with respect to multiplication of ideals. The subset $\mathscr{P}(\mathrm{A})$ of $\mathscr{I}(\mathrm{A})$ consisting of principal ideals is a submonoid. The quotient monoid $\mathscr{C}(\mathrm{A})=\mathscr{I}(\mathrm{A}) / \mathscr{P}(\mathrm{A})$ is called the class monoid of A. This monoid is trivial if and only if every ideal of $A$ is principal. As we will show, Dedekind rings are actually characterized by the property that $\mathscr{C}(\mathrm{A})$ is a group.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 Heights and Dimension

交换代数代写

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命题(9.5.1) 。-令 $\mathrm{A}$ 为积分域,令 $\mathrm{E}$ 是它的分数域并让 $\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{F}$ 是域的有限正态扩展。假使,假设 $\mathrm{A}$ 整体封闭在E然后让 $\mathrm{B}$ 的整体封闭 $\mathrm{A}$ 在 $\mathrm{F}$.
对于每一个素理想 $P$ 的 $A$ , 群组 $A u t(F / E)$ 传递地作用于素理想集 $Q$ 的 $B$ 这样 $\mathrm{Q} \cap \mathrm{A}=\mathrm{P}$.
证明。 – 让 $\mathrm{G}=\operatorname{Aut}(\mathrm{F} / \mathrm{E})$. 它是自同构的有限群 $\mathrm{F}$; 子领域 $\mathrm{F}^{\mathrm{G}}$ 的 $\mathrm{F}$ 是一个激进的延伸 $\mathrm{E}$ (推论 4.6.9) 和 $\mathrm{F}^{\mathrm{G}} \subset \mathrm{F}$ 是群的伽罗瓦扩展 $G$ (Artin 的引理 4.6.4)。
首先,根据上升定理(定理9.3.9),素理想集 $Q$ 的 $B$ 这样 $Q \cap A=P$ 是非空的。 让 $Q$ 和 $Q^{\prime}$ 是的两个主要理想 $B$ 这样 $Q \cap A=Q^{\prime} \cap A=P$.
让 $x \in \mathrm{Q}^{\prime}$ 然后让 $y=\prod_{\sigma \in \mathrm{G}} \sigma(x)$ ;自从 $y \in \mathrm{F}^{\mathrm{G}}$ 并且由于扩展 $\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{F}^{\mathrm{G}}$ 是根式,存在整数 $q \geq 1$ 这 样 $y^q \in \mathrm{E}$ (引理 4.4.16;一个有 $q=1$ 如果特征E为零)。
根据定义 $\mathrm{B}, x$ 是不可或缺的 $\mathrm{A}$ , 以及它的图像 $\sigma(x)$ ,为了 $\sigma \in \mathrm{G}$. 最后, $y$ 是不可或缺的 $\mathrm{A}$ ,因此 $y^q$ 是不可或缺的 $\mathrm{A}$. 自从 $y^q \in \mathrm{E}$ 和 $\mathrm{A}$ 整体封闭在 $\mathrm{E} , 一 个$ 有 $y^q \in \mathrm{A}$. 自从 $x \in \mathrm{Q}^{\prime}$ ,它遵循
$y^q \in Q^{\prime} \cap A=P$. 使用那个 $P=Q \cap A$, 我们推断 $y^q \in Q$. 最后,由于 $Q$ 是素理想,我们得出结 论 $y \in Q$
此外,由于 $y=\prod_{\sigma \in \mathrm{G}} \sigma(x)$ , 存在一个元素 $\sigma \in \mathrm{G}$ 这样 $\sigma(x) \in Q$. 自从 $G$ 是一个群,这给出了包含 $Q^{\prime} \subset \bigcup_{\sigma \in G} \sigma(Q)$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Dedekind Rings


定义 (9.6.1) 。一设 $A$ 为积分域。有人说 $A$ 是 Dedekind 环如果每个理想 $A$ 是射影 $A$ 模。 示例 (9.6.2)。- (i) 字段是 Dedekind 环。
(ii) 由于积分域 $A$ 的非零主理想是秩为 1 的自由 $A$ 模,因此任何主理想域都是 Dedekind 环。
(iii) 让 $A$ 成为戴德金戒指,让 $S$ 是的乘去子集 $A$. 然后 $S^{-1} A$ 是戴德金戒指。
的确,让 $J$ 成为理想的 $S^{-1} A$. 存在一个理想的 $A$ 这样 $J=S^{-1} I$. 自从 $A$ 是 Dedekind 环, $A$ 模I是 投射的。因此, $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{~A}$-模块 $\mathrm{S}^{-1} \mathrm{I}$ 是投影的(示例 7.3.5)。
9.6.3. – 让 $A$ 是一个完整的域,让 $K$ 是它的分数域。
套装 $\mathscr{I}(\mathrm{A})$ 的非零理想 $\mathrm{A}$ 是关于理想乘法的交换么半群。子集 $\mathscr{P}(\mathrm{A})$ 的 $\mathscr{I}(\mathrm{A})$ 由主要理想组成的是 一个子么半群。商么半群 $\mathscr{C}(\mathrm{A})=\mathscr{I}(\mathrm{A}) / \mathscr{P}(\mathrm{A})$ 被称为 $\mathrm{A}$ 的类么半群。这个么半群是平凡的当且 仅当 $A$ 是校长。正如我们将要展示的,Dedekind 戒指实际上具有以下特性: $\mathscr{C}(\mathrm{A})$ 是一组。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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