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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MA26600 Analytic Functionals in Complex Domains

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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Analytic Functionals in Complex Domains

In this section $\Omega$ shall denote an arbitrary open subset of $\mathbb{C}^n ; O(\Omega)$ shall stand for the space of holomorphic functions in $\Omega$, equipped with the topology of uniform convergence on compact subsets of $\Omega$. Let $\left{K_j\right}_{j=1,2, \ldots}$ be an exhaustive sequence of compact subsets of $\Omega$, meaning that $K_j \subset K_{j+1}$ and $\Omega=\bigcup_{j=1}^{\infty} K_j$. A basis of neighborhoods of the origin in $O(\Omega)$ consists of the (open) “semiballs” (“balls” for seminorms)
$$\left{h \in O(\Omega) ; \max _{K_j}|h|<R\right} \text {. }$$
If $K$ is a compact subset of $\Omega$, to say that the seminorm $h \mapsto \max _K|h|$ is a norm is the same as saying that every function $h \in O(\Omega)$ that vanishes identically on $K$ vanishes identically in $\Omega$. This is the case when $\Omega$ is connected and the interior of $K \subset \Omega$ is not empty, also in much more general circumstances (think of an infinite sequence of distinct points converging in $\Omega$ ).

We denote by $O^{\prime}(\Omega)$ the dual of $O(\Omega)$, which is to say, the space of continuous linear functionals $\mu: O(\Omega) \longrightarrow \mathbb{C}$. The evaluation of $\mu$ at a function $h \in O(\Omega)$ will be denoted, interchangeably, by $\mu(h)$ or by $\langle\mu, h\rangle$. That $\mu$ is continuous means that $\lim {n \rightarrow \infty} \mu\left(h_n\right)=\mu\left(\lim {n \rightarrow \infty} h_n\right)$ whatever the convergent sequence $\left{h_n\right}_{n=1,2, \ldots}$ in $O(\Omega)$. Thus, to every $\mu \in O^{\prime}(\Omega)$ there is a compact set $K \subset \Omega$ and a constant $C>0$ such that
$$\forall h \in O(\Omega),|\mu(h)| \leq C \max _K|h|$$

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Laplace–Borel transform

Definition 6.2.1 By the Laplace-Borel transform of an analytic functional $\mu \in$ $O^{\prime}\left(\mathbb{C}^n\right)$ we mean the function of $\zeta \in \mathbb{C}^n, \mathcal{L} \mu(\zeta)=\mu\left(\mathrm{e}^{-z \cdot \zeta}\right)$.
We are using the notation $z \cdot \zeta=z_1 \zeta_1+\cdots+z_n \zeta_n$.
We recall that an entire function $h$ in $\mathbb{C}^n$ is said to be of exponential type if there are two positive constants $A, B$ such that
$$\forall z \in \mathbb{C}^n,|h(z)| \leq A \exp (B|z|) .$$
We shall denote by $\operatorname{Exp}\left(\mathbb{C}^n\right)$ the space of entire functions of exponential type in $\mathbb{C}^n$.
Theorem 6.2.2 The Laplace-Borel transform is a linear isomorphism of $O^{\prime}\left(\mathbb{C}^n\right)$ onto $\operatorname{Exp}\left(\mathbb{C}^n\right)$. If $K$ is a compact subset of $\mathbb{C}^n$ and $\mu$ is carried by $K$ then to every $\varepsilon>0$ there is a $C_{\varepsilon}>0$ such that
$$\forall \zeta \in \mathbb{C}^n,|\mathcal{L} \mu(\zeta)| \leq C_{\varepsilon} \mathrm{e}^{H_K(\zeta)+\varepsilon|\zeta|},$$
where $H_K(\zeta)=\max _{z \in K}(-\operatorname{Re}(z \cdot \zeta))$.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代 写|Analytic Functionals in Complex Domains

lleft 缺少或无法识别的分隔符

$\lim n \rightarrow \infty \mu\left(h_n\right)=\mu\left(\lim n \rightarrow \infty h_n\right)$ 无论收敛序列\left 缺少或无法识别的分隔符 在 $O(\Omega)$. 这样，对每一个 $\mu \in O^{\prime}(\Omega)$ 有一个紧集 $K \subset \Omega$ 和一个常数 $C>0$ 这样
$$\forall h \in O(\Omega),|\mu(h)| \leq C \max _K|h|$$

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Laplace-Borel transform

$$\forall z \in \mathbb{C}^n,|h(z)| \leq A \exp (B|z|) .$$

$$\forall \zeta \in \mathbb{C}^n,|\mathcal{L} \mu(\zeta)| \leq C_{\varepsilon} \mathrm{e}^{H_K(\zeta)+\varepsilon|\zeta|},$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。