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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MATH211 End of the proof of the Cauchy–Kovalevskaya Theore

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|End of the proof of the Cauchy–Kovalevskaya Theore

We must reformulate the system of equations (5.2.20)-(5.2.21) with the “initial” conditions (5.2.22)-(5.2.23) as a Cauchy problem (5.1.20). This demands that we be more precise about all our data. We recall that $\left(U_1, \ldots, U_n\right)$ varies in $\mathbb{C}^{n q}$. We return to the notation $u$, this time meaning the vector-valued unknown
$$u=\left(z^{\prime}, U_1, \ldots, U_n\right) \in \mathbb{C}^{n-1+n q} .$$
In the application of Theorem 5.1.13 the Banach space $\boldsymbol{E}s$ will be the space of $\mathbb{C}^{n-1+n q}$-valued holomorphic functions of $z^{\prime}$ in the polydisk $$\Delta{s r}^{(n-1)}=\left{z^{\prime} \in \mathbb{C}^{n-1} ;\left|z_j\right|<s r, j=2, \ldots, n\right}$$

that can be extended continuously to the closure $\overline{\Delta_{s r}^{(n-1)}}$, with $r>0$ fixed and $0<s<1$. Recall that $\boldsymbol{E}0$ is the union of the spaces $\boldsymbol{E}_s$. We denote by $F\left(z_1, u\right)$ the $\operatorname{map}$ $$\boldsymbol{E}_0 \ni u \mapsto(\overbrace{0, \ldots, 0}^{n-1}, \Phi\left(z, U_1, \ldots, U_n\right),\left(\partial{z_j} \Phi\left(z, U_1, \ldots, U_n\right)\right)_{j=2, \ldots, n}) \in \mathbb{C}^{n-1+n q}$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Applications to Linear PDE

The linear version of Eq. (5.2.1) reads
$$\sum_{|\alpha| \leq m} c_\alpha(z) \partial_z^\alpha u=f(z)$$
The coefficients $c_\alpha$ and $f$ are holomorphic functions in some neighborhood $\Omega$ of 0 in $\mathbb{C}^n$. We assume that the principal symbol of the differential operator $P\left(z, \partial_z\right)=$ $\sum_{|\alpha| \leq m} c_\alpha(z) \partial_z^\alpha u$
$$P_m(z, \zeta)=\sum_{|\alpha|=m} c_\alpha(z) \zeta^\alpha,$$
does not vanish identically at $z=0$. After a linear change of variables we may assume that $c_{(m, 0, \ldots, 0)}(0) \neq 0$. After division by $c_{(m, 0, \ldots, 0)}(z)$ (and a change of notation) we can assume that, in some neighborhood of the origin, (5.3.1) is equivalent to
$$\partial_{z_1}^m u+\sum_{|\alpha|=m, \alpha_1<m} c_\alpha(z) \partial_z^\alpha u=f$$

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代 写|End of the proof of the Cauchy-Kovalevskaya Theore

$$u=\left(z^{\prime}, U_1, \ldots, U_n\right) \in \mathbb{C}^{n-1+n q} .$$
\1eft 缺少或无法识别的分隔符 $F\left(z_1, u\right)$ 这map
$$E_0 \ni u \mapsto(\overbrace{0, \ldots, 0}^{n-1}, \Phi\left(z, U_1, \ldots, U_n\right),\left(\partial z_j \Phi\left(z, U_1, \ldots, U_n\right)\right)_{j=2, \ldots, n}) \in \mathbb{C}^{n-1+n q}$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代 写|Applications to Linear PDE

$$\sum_{|\alpha| \leq m} c_\alpha(z) \partial_z^\alpha u=f(z)$$

$$P_m(z, \zeta)=\sum_{|\alpha|=m} c_\alpha(z) \zeta^\alpha,$$

$$\partial_{z 1}^m u+\sum_{|\alpha|=m, \alpha, 1<m} c_\alpha(z) \partial_z^\alpha u=f$$

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