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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH453 Picard–Lindelöf Theorem

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Picard–Lindelöf Theorem

We now consider the general case of the initial value problem as in (3.2.1). By the fundamental theorem of integral calculus, the case when $f(t, x)$ is a function of only $x$ variable, say given by $g(x)$, has a unique (global) solution given by the integral curve passing through the point $\left(t_0, x_0\right)$ if and only if the function $g$ is continuous. In this case, a unique solution is given by
$$\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^t g(s) \mathrm{d} s, \quad \text { for } t \in I .$$
Next, if $\varphi \in C(I)$ is a solution in the general case so that we have
$$\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}=f(t, \varphi(t)), \quad \text { for all } t \in I, \quad \text { with } \varphi\left(t_0\right)=x_0$$
it then follows that

$$\varphi(t)=x_0+\int_{t_0} f(s, \varphi(s)) \mathrm{d} s, \quad \text { for all } t \in I$$
using the fact that the continuity of $\varphi(t)$ implies the continuity of $f(t, \varphi(t))$. Therefore, by using the initial condition $\varphi\left(t_0\right)=x_0$, we see that $\varphi$ is a solution of the integral equation given by
$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s)) \mathrm{d} s, \quad \text { for all } t \in I$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Higher Order Linear Differential Equations

An $n$th order differential equation for an unknown function $x \in C^n(I)$ of the form
$$\frac{\mathrm{d}^n x}{\mathrm{~d} t^n}=G\left(t ; x, x^{\prime}, \ldots, x^{(n-1)} ; \boldsymbol{b}\right), \quad \text { for } t \in I,$$
arise naturally as a mathematical model for many phenomena in science and engineering. In majority of the cases, we have $n=2$. That is, a differential equation model related to many different kinds of applications is a second order differential equation given in normal form as
$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2}=f\left(t ; x, x^{\prime} ; \boldsymbol{b}\right), \quad \text { for } t \in I,$$
where the function $f$ is usually assumed to be continuous. In physical terms, $f$ represents the total force acting on the dynamical system under investigation. A practical situations in physics illustrated in the next example is a typical equation of the form (3.3.2).

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代 写|Picard-Lindelöf Theorem

$$\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^t g(s) \mathrm{d} s, \quad \text { for } t \in I .$$

$$\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}=f(t, \varphi(t)), \quad \text { for all } t \in I, \quad \text { with } \varphi\left(t_0\right)=x_0$$

$$\varphi(t)=x_0+\int_{t_0} f(s, \varphi(s)) \mathrm{d} s, \quad \text { for all } t \in I$$

$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s)) \mathrm{d} s, \quad \text { for all } t \in I$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代 写|Higher Order Linear Differential Equations

$$\frac{\mathrm{d}^n x}{\mathrm{~d} t^n}=G\left(t ; x, x^{\prime}, \ldots, x^{(n-1)} ; \boldsymbol{b}\right), \quad \text { for } t \in I,$$

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2}=f\left(t ; x, x^{\prime} ; \boldsymbol{b}\right), \quad \text { for } t \in I$$

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