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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH453 The sheaf of hyperfunctions in R

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The sheaf of hyperfunctions in R

At this stage it makes sense to switch to Sheaf Theory terminology (the reader is referred to Subsection 1.2.2). We form the presheaf $\left(\mathcal{B}(U), \rho_V^U\right): U$ ranges over the family of all bounded open subsets of $\mathbb{R}^n, V$ ranges over the family of all open subsets of $U, \rho_V^U: \mathcal{B}(U) \longrightarrow \mathcal{B}(V)$ is the restriction map introduced in the previous subsection. The presheaf $\left(\mathcal{B}(U), \rho_V^U\right)$ defines a sheaf $\mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ to which we shall refer as the sheaf of hyperfunctions or, more accurately, of germs of hyperfunctions in $\mathbb{R}^n$. Given any bounded open set $U \subset \mathbb{R}^n$ we can regard $\mathcal{B}(U)$ defined in (7.1.1) as a vector subspace of $\Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)$, the vector space of continuous sections of the sheaf $\mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ over $U$

Proposition 7.1.7 If the open subset $U$ of $\mathbb{R}^n$ is bounded then $\Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)=\mathcal{B}(U)$.
Proof Let $s \in \Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)$ be arbitrary. There is a covering $\left{V_l\right}_{l \in I}$ of $U$ such that, for each $\iota \in I$, the restriction of $s$ to $V_\iota$ is equal to an element $s_\iota \in \mathcal{B}\left(V_\iota\right)$. Let $\kappa \in I$ be such that $V_\iota \cap V_\kappa \neq \varnothing$. By the transitivity of restrictions $s_t=s_K$ in $V_\iota \cap V_K$. Then, by Proposition 7.1.6, we conclude that there is an $\tilde{s} \in \mathcal{B}(U)$ such that $\rho_{U_t}^U(\tilde{s})=s_l$; necessarily $s=\tilde{s}$.

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Division of hyperfunctions by analytic functions

In this subsection ${ }^1$ we are going to show that arbitrary hyperfunctions can be divided by arbitrary analytic functions that do not vanish identically. For this we need partitions of unity in the hyperfunctions sense; these are constructed following a general argument in sheaf theory (see, e.g., [Godement, 1964], p. 156). As before, $\Omega$ will be an open subset of $\mathbb{R}^n$.

Lemma 7.1.15 Let $\left{U_j\right}_{j \in \mathbb{Z}{+}}$be a countable, locally finite open covering of $\Omega$ such that $U_j \subset \subset \Omega$ for each $j$. Given $u \in \mathcal{B}(\Omega)$ there are $u_j \in \mathcal{B}(\Omega)$, $\operatorname{supp} u_j \subset U_j$, such that $u=\sum{j \in \mathbb{Z}_{+}} u_j$.

Proof Select open sets $V_j \subset \subset U_j$ such that $\cup_{j \in \mathbb{Z}{+}} V_j=\Omega$ and let $\mathcal{E}$ denote the set of all families $\left(u_j\right){j \in J}$ with $J \subset \mathbb{Z}{+}$and $u_j \in \mathcal{B}\left(U_j\right)$ such that $\operatorname{supp} u_j \subset U_j$ and $u=\sum{j \in J} u_j$ in $V_J=\cup_{j \in J} V_j$ (we extend $u_j$ to $V_J$ by setting $u_j=0$ in the complement of supp $u_j$ ). We have $\mathcal{E} \neq \varnothing$ since taking $J=\left{j_{\circ}\right}, j_{\circ} \in \mathbb{Z}{+}$, and $u{j_{\circ}}=u$ in $V_j$ yields $\left(u_j\right){j \in J} \in \mathcal{E}$. In $\mathcal{E}$ we introduce a partial order: $\left(u_j\right){j \in J} \leq\left(u_j\right){j \in J^{\prime}}$ if $J \subset J^{\prime}$. It is easily seen that every totally ordered subset of $\mathcal{E}$ has an upper bound and therefore, by Zorn’s lemma, $\mathcal{E}$ has a maximal element $\left(u_j\right){j \in J_{\star}}$. We are going to show that $J_{\star}=\mathbb{Z}{+}$. Suppose there is a $j{\circ} \in \mathbb{Z}{+} \backslash J{\star}$ and consider the open set $\Omega^{\prime}=V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}} \cup\left(\Omega \backslash \bar{V}{j{\circ}}\right)$. Since $\left(V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}}\right) \cap\left(\Omega \backslash \bar{V}{j{\circ}}\right) \subset V_{J_{\star}}$ we obtain a well-defined hyperfunction $v \in B\left(\Omega^{\prime}\right)$ simply by setting
$$v= \begin{cases}u-\sum_{j \in J_{\star}} u_j & \text { in } V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}} \ 0 & \text { in } \Omega \backslash \bar{V}{j{\circ}}\end{cases}$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The sheaf of hyperfunctions in $\mathbf{R}$

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 的 $U$ 这样，对于每个 $\iota \in I$, 的限制到 $V_l$ 等于一个 元素 $s_\iota \in \mathcal{B}\left(V_\iota\right)$. 让 $\kappa \in I$ 是这样的 $V_\iota \cap V_\kappa \neq \varnothing$. 通过限制的传递性 $s_t=s_K$ 在 $V_\iota \cap V_K$. 然后， 根据命题 7.1.6，我们得出结论，有一个 $\tilde{s} \in \mathcal{B}(U)$ 这样 $\rho_{U_t}^U(\tilde{s})=s_l ;$ 一定 $s=\tilde{s}$.

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代 与|Division of hyperfunctions by analytic functions

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 , 和 $u j_{\circ}=u$ 在 $V_j$ 产量 $\left(u_j\right) j \in J \in \mathcal{E}$. 在 $\mathcal{E}$ 我们 引入偏序: $\left(u_j\right) j \in J \leq\left(u_j\right) j \in J^{\prime}$ 如果 $J \subset J^{\prime}$. 很容易看出，每个完全有序的子集 $\mathcal{E}$ 有一个上 限， 因此，根据Zorn 引理， $\mathcal{E}$ 有一个最大的元素 $\left(u_j\right) j \in J_{\star}$. 我们要证明 $J_{\star}=\mathbb{Z}+$. 假设有一个 $j \circ \in \mathbb{Z}+\backslash J$ 大并考虑开集 $\Omega^{\prime}=V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}} \cup(\Omega \backslash \bar{V} j \circ)$. 自从 $\left(V_{J_{\star}} \cup V_{j_0}\right) \cap(\Omega \backslash \bar{V} j \circ) \subset V_{J_{\star}}$ 我 们获得了一个明确定义的超函数 $v \in B\left(\Omega^{\prime}\right)$ 只需通过设置
$$v=\left{u-\sum_{j \in J_{\star}} u_j \quad \text { in } V_{J_{\star}} \cup V_{j_0} 0 \quad \text { in } \Omega \backslash \bar{V} j \circ\right.$$

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