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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH453 The sheaf of hyperfunctions in R

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations MATH453这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中,偏微分方程(PDE)是一个方程,它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类,对应于单变量函数。截至2020年,随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程,目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域,如物理学和工程学中无处不在。例如,它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学(薛定谔方程、保利方程等)的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑,如微分几何和变分计算;在其他值得注意的应用中,它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性,存在着广泛的不同类型的偏微分方程,并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此,人们通常认为,偏微分方程没有 “一般理论”,专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH453 The sheaf of hyperfunctions in R

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The sheaf of hyperfunctions in R

At this stage it makes sense to switch to Sheaf Theory terminology (the reader is referred to Subsection 1.2.2). We form the presheaf $\left(\mathcal{B}(U), \rho_V^U\right): U$ ranges over the family of all bounded open subsets of $\mathbb{R}^n, V$ ranges over the family of all open subsets of $U, \rho_V^U: \mathcal{B}(U) \longrightarrow \mathcal{B}(V)$ is the restriction map introduced in the previous subsection. The presheaf $\left(\mathcal{B}(U), \rho_V^U\right)$ defines a sheaf $\mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ to which we shall refer as the sheaf of hyperfunctions or, more accurately, of germs of hyperfunctions in $\mathbb{R}^n$. Given any bounded open set $U \subset \mathbb{R}^n$ we can regard $\mathcal{B}(U)$ defined in (7.1.1) as a vector subspace of $\Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)$, the vector space of continuous sections of the sheaf $\mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ over $U$

Proposition 7.1.7 If the open subset $U$ of $\mathbb{R}^n$ is bounded then $\Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)=\mathcal{B}(U)$.
Proof Let $s \in \Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)$ be arbitrary. There is a covering $\left{V_l\right}_{l \in I}$ of $U$ such that, for each $\iota \in I$, the restriction of $s$ to $V_\iota$ is equal to an element $s_\iota \in \mathcal{B}\left(V_\iota\right)$. Let $\kappa \in I$ be such that $V_\iota \cap V_\kappa \neq \varnothing$. By the transitivity of restrictions $s_t=s_K$ in $V_\iota \cap V_K$. Then, by Proposition 7.1.6, we conclude that there is an $\tilde{s} \in \mathcal{B}(U)$ such that $\rho_{U_t}^U(\tilde{s})=s_l$; necessarily $s=\tilde{s}$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Division of hyperfunctions by analytic functions

In this subsection ${ }^1$ we are going to show that arbitrary hyperfunctions can be divided by arbitrary analytic functions that do not vanish identically. For this we need partitions of unity in the hyperfunctions sense; these are constructed following a general argument in sheaf theory (see, e.g., [Godement, 1964], p. 156). As before, $\Omega$ will be an open subset of $\mathbb{R}^n$.

Lemma 7.1.15 Let $\left{U_j\right}_{j \in \mathbb{Z}{+}}$be a countable, locally finite open covering of $\Omega$ such that $U_j \subset \subset \Omega$ for each $j$. Given $u \in \mathcal{B}(\Omega)$ there are $u_j \in \mathcal{B}(\Omega)$, $\operatorname{supp} u_j \subset U_j$, such that $u=\sum{j \in \mathbb{Z}_{+}} u_j$.

Proof Select open sets $V_j \subset \subset U_j$ such that $\cup_{j \in \mathbb{Z}{+}} V_j=\Omega$ and let $\mathcal{E}$ denote the set of all families $\left(u_j\right){j \in J}$ with $J \subset \mathbb{Z}{+}$and $u_j \in \mathcal{B}\left(U_j\right)$ such that $\operatorname{supp} u_j \subset U_j$ and $u=\sum{j \in J} u_j$ in $V_J=\cup_{j \in J} V_j$ (we extend $u_j$ to $V_J$ by setting $u_j=0$ in the complement of supp $u_j$ ). We have $\mathcal{E} \neq \varnothing$ since taking $J=\left{j_{\circ}\right}, j_{\circ} \in \mathbb{Z}{+}$, and $u{j_{\circ}}=u$ in $V_j$ yields $\left(u_j\right){j \in J} \in \mathcal{E}$. In $\mathcal{E}$ we introduce a partial order: $\left(u_j\right){j \in J} \leq\left(u_j\right){j \in J^{\prime}}$ if $J \subset J^{\prime}$. It is easily seen that every totally ordered subset of $\mathcal{E}$ has an upper bound and therefore, by Zorn’s lemma, $\mathcal{E}$ has a maximal element $\left(u_j\right){j \in J_{\star}}$. We are going to show that $J_{\star}=\mathbb{Z}{+}$. Suppose there is a $j{\circ} \in \mathbb{Z}{+} \backslash J{\star}$ and consider the open set $\Omega^{\prime}=V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}} \cup\left(\Omega \backslash \bar{V}{j{\circ}}\right)$. Since $\left(V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}}\right) \cap\left(\Omega \backslash \bar{V}{j{\circ}}\right) \subset V_{J_{\star}}$ we obtain a well-defined hyperfunction $v \in B\left(\Omega^{\prime}\right)$ simply by setting
$$
v= \begin{cases}u-\sum_{j \in J_{\star}} u_j & \text { in } V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}} \ 0 & \text { in } \Omega \backslash \bar{V}{j{\circ}}\end{cases}
$$

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偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The sheaf of hyperfunctions in $\mathbf{R}$


在这个阶段,切换到层理论术语是有意义的 (读者参考 $1.2 .2$ 小节)。我们形成预捆 $\left(\mathcal{B}(U), \rho_V^U\right): U$ 范围在所有有界开放子集的族 $\mathbb{R}^n, V$ 范围在所有开放子集的家庭 $U, \rho_V^U: \mathcal{B}(U) \longrightarrow \mathcal{B}(V)$ 是上一小节介绍的限制映射。预捆 $\left(\mathcal{B}(U), \rho_V^U\right)$ 定义一个捆 $\mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 我们 称其为机能亡进的束,或者更准觓地说,是机能冗进的肧芽 $\mathbb{R}^n$. 给定任何有界开集 $U \subset \mathbb{R}^n$ 我们可 以考虑 $\mathcal{B}(U)$ 在 (7.1.1) 中定义为向量子空间 $\Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right.$ ), 捆的连续部分的向量空间 $\mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 超过 $U$
命题 7.1.7 如果开子集 $U$ 的 $\mathbb{R}^n$ 那么有界 $\Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)=\mathcal{B}(U)$.
证明让 $s \in \Gamma\left(U, \mathbf{B}\left(\mathbb{R}^n\right)\right)$ 是任意的。有一个覆盖
$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 的 $U$ 这样,对于每个 $\iota \in I$, 的限制到 $V_l$ 等于一个 元素 $s_\iota \in \mathcal{B}\left(V_\iota\right)$. 让 $\kappa \in I$ 是这样的 $V_\iota \cap V_\kappa \neq \varnothing$. 通过限制的传递性 $s_t=s_K$ 在 $V_\iota \cap V_K$. 然后, 根据命题 7.1.6,我们得出结论,有一个 $\tilde{s} \in \mathcal{B}(U)$ 这样 $\rho_{U_t}^U(\tilde{s})=s_l ;$ 一定 $s=\tilde{s}$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代 与|Division of hyperfunctions by analytic functions


在本小节中 ${ }^1$ 我们将证明任意超函数可以除以任意不相同消失的解析函数。为此,我们需要超函数意 义上的单位划分; 这些是根据层理论中的一般论证构建的(参见,例如,[Godement,1964],第 156 页)。像之前一样, $\Omega$ 将是一个开放的子集 $\mathbb{R}^n$.
引理7.1.15 让\1eft 缺少或无法识别的分隔符 是一个可数的、局部有限的开覆盖 $\Omega$ 这样 $U_j \subset \subset \Omega$ 每个 $j$.鉴于 $u \in \mathcal{B}(\Omega)$ 有 $u_j \in \mathcal{B}(\Omega), \operatorname{supp} u_j \subset U_j$, 这样 $u=\sum j \in \mathbb{Z}{+} u_j$. 证明选择开集 $V_j \subset \subset U_j$ 这样 $\cup{j \in \mathbb{Z}+} V_j=\Omega$ 然后让 $\mathcal{E}$ 表示所有家庭的集合 $\left(u_j\right) j \in J$ 和 $J \subset \mathbb{Z}$ 和 $u_j \in \mathcal{B}\left(U_j\right)$ 这样 $\operatorname{supp} u_j \subset U_j$ 和 $u=\sum j \in J u_j$ 在 $V_J=\cup_{j \in J} V_j$ (我们延长 $u_j$ 到 $V_J$ 通过设置 $u_j=0$ 在补充的补充 $u_j$ ). 我们有 $\mathcal{E} \neq \varnothing$ 自从服用
$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 , 和 $u j_{\circ}=u$ 在 $V_j$ 产量 $\left(u_j\right) j \in J \in \mathcal{E}$. 在 $\mathcal{E}$ 我们 引入偏序: $\left(u_j\right) j \in J \leq\left(u_j\right) j \in J^{\prime}$ 如果 $J \subset J^{\prime}$. 很容易看出,每个完全有序的子集 $\mathcal{E}$ 有一个上 限, 因此,根据Zorn 引理, $\mathcal{E}$ 有一个最大的元素 $\left(u_j\right) j \in J_{\star}$. 我们要证明 $J_{\star}=\mathbb{Z}+$. 假设有一个 $j \circ \in \mathbb{Z}+\backslash J$ 大并考虑开集 $\Omega^{\prime}=V_{J_{\star}} \cup V_{j_{\circ}} \cup(\Omega \backslash \bar{V} j \circ)$. 自从 $\left(V_{J_{\star}} \cup V_{j_0}\right) \cap(\Omega \backslash \bar{V} j \circ) \subset V_{J_{\star}}$ 我 们获得了一个明确定义的超函数 $v \in B\left(\Omega^{\prime}\right)$ 只需通过设置
$$
v=\left{u-\sum_{j \in J_{\star}} u_j \quad \text { in } V_{J_{\star}} \cup V_{j_0} 0 \quad \text { in } \Omega \backslash \bar{V} j \circ\right.
$$

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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