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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH480 Boundary Value Problems

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Boundary Value Problems

In most applications, the boundary value problems (or simply BVPs) for second order differential equations involve a space variable as the independent variable. Therefore, in this section, we may write unknown function as $y=y(x) \in C^2(I)$, where $I=[a, b]$ is some compact interval. However, at a later stage, we will also consider functions in the space $\mathscr{L}^2(J) \bigcap C^2(J)$, where $\mathscr{L}^2(J)$ is the Hilbert space of square integrable functions defined over a subinterval $J \subseteq \mathbb{R}$. It is well know that, when $J$ is compact, we have
$$\mathscr{L}^2(J) \cap C^2(J)=C^2(J)$$
We will mainly discuss linear BVPs with mixed types of boundary conditions given by
$$\begin{array}{ll} c_1 y(a)+c_2 y^{\prime}(a)=\alpha, & \text { where }\left(c_1, c_2\right) \neq 0 \ d_1 y(b)+d_2 y^{\prime}(b)=\beta, & \text { where }\left(d_1, d_2\right) \neq 0 \end{array}$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Green’s Functions and Nonhomogeneous Problems

In 1828, the British mathematician and physicist George Green $(1793-1841)$ published An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism wherein he introduced an important function that Riemann called Green’s function. As discussed in later chapter, the related procedure as described in the same paper sought solutions of Poisson’s equation governing the electric potential inside a bounded open set $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, considering certain specified boundary conditions on the surface $\Gamma=\partial \Omega$. In this part, we will derive the Green’s function of some simple IVPs and BVPs for ordinary differential equations.

We start with a demonstration about how to use Green’s function in solving an initial value problem for a nonhomogeneous ordinary differential equation such as
\begin{aligned} a_0(t) x^{\prime \prime}(t)+a_1(t) x^{\prime}(t)+a_2(t) x(t) & =g(t) ; \ x(0)=x_0 \quad x^{\prime}(0) & =v_0, \end{aligned}
where the coefficient $a_i$ and the forcing function $g$ are assumed to be continuous functions. As before, we may write Eq. (3.4.13a) as $L[x]=f$, where
$$L \equiv a_0(t) \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} t^2}+a_1(t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}+a_2(t),$$
so that the solution is formally given by $x=L^{-1}[g]$, which we write as
$$x(t)=\int G(t, u) g(u) \mathrm{d} u .$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写偏微分方程代考Partial Differential Equations代 写|Boundary Value Problems

$$\mathscr{L}^2(J) \cap C^2(J)=C^2(J)$$

$c_1 y(a)+c_2 y^{\prime}(a)=\alpha, \quad$ where $\left(c_1, c_2\right) \neq 0 d_1 y(b)+d_2 y^{\prime}(b)=\beta, \quad$ where $\left(d_1, d_2\right) \neq 0$

## 数学代与号|偏微分方程代考Partial Differential Equations代 马/Green’s Functions and Nonhomogeneous Problems

1828年，英国数学家、物理学家乔治.格林 $(1793-1841)$ 发表了一篇关于数学分析在电磁学理论中 的应用的论文，其中他介绍了一个重要的函数，黎曼称之为格林函数。正如在后面的章节中所讨论 的，同一篇论文中描述的相关程序寻求控制有界开集内电势的泊松方程的解 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ ，考虑到表面上 某些指定的边界条件 $\Gamma=\partial \Omega$. 在这一部分中，我们将推导一些简单的常微分方程的 IVP 和 BVP 的 格林函数。

$$a_0(t) x^{\prime \prime}(t)+a_1(t) x^{\prime}(t)+a_2(t) x(t)=g(t) ; x(0)=x_0 \quad x^{\prime}(0) \quad=v_0,$$

$$L \equiv a_0(t) \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} t^2}+a_1(t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}+a_2(t)$$

$$x(t)=\int G(t, u) g(u) \mathrm{d} u$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。