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# 数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MA3150 Alternative Solution

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Alternative Solution Suppose that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c(n)}{n^s}$ converges absolutely for all real $s>1$. Then, for these same values of $s$,
\begin{aligned} \zeta(s) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c(n)}{n^s} & =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^s} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c(n)}{n^s}=\sum_{m, n \geq 1} \frac{c(n)}{(m n)^s} \ & =\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{m n=N} \frac{c(n)}{N^s}=\sum_{N=1}^{\infty}\left(\sum_{n \mid N} c(n)\right) \frac{1}{N^s} \ & =g(1)+\frac{g(2)}{2^s}+\frac{g(3)}{3^s}+\ldots \end{aligned}
where
$$g(N):=\sum_{n \mid N} c(n)$$

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Alternative Solution What we are asked is to do is equivalent to proving that $\frac{1}{x} \sum_{a \in \mathcal{A}, a \leq x} 1 \rightarrow 0$, as $x \rightarrow \infty$. The key is to observe that $1 \leq x / a$ for every $a \leq x$. Hence,
$$\sum_{\substack{a \in \mathcal{A} \ a \leq x}} 1 \leq \sqrt{x}+\sum_{\substack{a \in \mathcal{A} \ \sqrt{x}\sqrt{x}}} \frac{1}{a}$$
In the last step we replaced 1 with $x / a$ and we extended the sum over all $a>\sqrt{x}$, 0 , as the tail of a convergent series. So the desired result follows from the last display, upon dividing by $x$ and sending $x \rightarrow \infty$.

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$$\zeta(s) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c(n)}{n^s}=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^s} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c(n)}{n^s}=\sum_{m, n \geq 1} \frac{c(n)}{(m n)^s} \quad=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{m n=N} \frac{c(n)}{N^s}=\sum_{N=1}^{\infty}\left(\sum_{n \mid N} c(n)\right) \frac{1}{N^s}=g(1)+\frac{g(2)}{2^s}+\frac{g(3)}{3^s}+\ldots$$

$$g(N):=\sum_{n \mid N} c(n)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。