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数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MATH11226 Let p be an odd prime

如果你也在 怎样代写解析数论Analytic Number Theory MATH11226这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。解析数论Analytic Number Theory在数学中,解析数论是数论的一个分支,它使用数学分析的方法来解决关于整数的问题。人们通常说它始于彼得-古斯塔夫-勒让-迪里希勒1837年引入的迪里希勒L-函数,给出了迪里希勒关于算术级数定理的第一个证明。 它因其在素数(涉及素数定理和黎曼zeta函数)和加数理论(如哥德巴赫猜想和沃林问题)方面的结果而闻名

解析数论Analytic Number Theory可以分成两个主要部分,更多的是按它们试图解决的问题类型划分,而不是按技术的根本差异划分。乘法数论涉及素数的分布,如估计一个区间内的素数数量,包括素数定理和迪里切特关于算术级数中素数的定理。加法数论关注的是整数的加法结构,例如哥德巴赫的猜想,即每一个大于2的偶数都是两个素数之和。加法数论的主要结果之一是对沃林问题的解决。

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数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|MATH11226 Let p be an odd prime

数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Let p be an odd prime

8.76 Let $p$ be an odd prime, and suppose for a contradiction that $r_{i+1}-r_i \geq p^{\frac{1}{2}+\epsilon}$ for some $i<\frac{p-1}{2}$. Then with $N$ denoting the greatest integer smaller than $p^{\frac{1}{2}+\epsilon}$, all of $r_i+1, \ldots, r_i+N$ are nonsquares modulo $p$. Thus,
$$
\left|\sum_{n=r_i+1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)\right|=N .
$$
However, by the Pólya-Vinogradov inequality (Problem 6.55),
$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{n=r_i+1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)\right| & =\left|\sum_{n=1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)-\sum_{n=1}^{r_i}\left(\frac{n}{p}\right)\right| \
& \leq\left|\sum_{n=1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)\right|+\left|\sum_{n=1}^{r_i}\left(\frac{n}{p}\right)\right|<2 \sqrt{p} \log p .
\end{aligned}
$$

数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Remarks

The formula (8.26) for $S_{\ell}$ ( $\ell$ odd) yields a slick proof of the famous Law of Quadratic Reciprocity.

Assume $\ell$ and $p$ are odd primes, $\ell \neq p$. From (8.26) and Euler’s criterion for quadratic residues,
$$
S_{\ell} \equiv 1+(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{\ell-1}{2}}\left(\frac{p}{\ell}\right)(\bmod \ell) .
$$
Here is another way of computing $S_{\ell}(\bmod \ell)$. Observe that if $\left(x_1, \ldots, x_{\ell}\right)$ is a tuple counted in the definition of $S_{\ell}$, so is its cyclic shift $\left(x_2, \ldots, x_{\ell-1}, x_1\right)$. Call two tuples equivalent if one can be obtained from the other by a finite number of cyclic shifts; it is easy to see that this is an equivalence relation, and that each equivalence class has size dividing $\ell$, so is either 1 or $\ell$. Therefore, $S_{\ell}$ is congruent, $\bmod \ell$, to the number of classes of size 1 . That number is just
$$
\begin{aligned}
#\left{x \in \mathbb{Z}_p: \ell x^2=1\right} & =#{\text { square roots of } 1 / \ell \bmod p} \
& =#{\text { square roots of } \ell \bmod p}=1+\left(\frac{\ell}{p}\right) .
\end{aligned}
$$
Thus, modulo $\ell$
$$
1+\left(\frac{\ell}{p}\right) \equiv 1+(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{\ell-1}{2}}\left(\frac{p}{\ell}\right)
$$
Subtracting 1 and multiplying both sides by $\left(\frac{p}{\ell}\right)$, we obtain
$$
\left(\frac{p}{\ell}\right)\left(\frac{\ell}{p}\right) \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{\ell-1}{2}}
$$

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解析数论代写

数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Let $p$ be an odd prime

数 $p^{\frac{1}{2}+\epsilon}$ ,所有的 $r_i+1, \ldots, r_i+N$ 是非方模 $p$. 因此,
$$
\left|\sum_{n=r_i+1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)\right|=N
$$
然而,根据 Pólya-Vinogradov 不等式 (问题 6.55)),
$$
\left|\sum_{n=r_i+1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)\right|=\left|\sum_{n=1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)-\sum_{n=1}^{r_i}\left(\frac{n}{p}\right)\right| \leq\left|\sum_{n=1}^{r_i+N}\left(\frac{n}{p}\right)\right|+\left|\sum_{n=1}^{r_i}\left(\frac{n}{p}\right)\right|<2 \sqrt{p} \log p .
$$

数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考|Remarks


公式 (8.26) 为 $S_{\ell}(\ell$ odd) 给出了著名的二次互易律的巧妙证明。
认为 $\ell$ 和 $p$ 是奇挈数, $\ell \neq p$. 从 (8.26) 和欧拉的二次留数准则,
$$
S_{\ell} \equiv 1+(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{\ell-1}{2}}\left(\frac{p}{\ell}\right)(\bmod \ell)
$$
这是另一种计算方式 $S_{\ell}(\bmod \ell)$. 观察如果 $\left(x_1, \ldots, x_{\ell}\right)$ 是在定义中计算的元组 $S_{\ell}$ ,它的循环移位也是 $\left(x_2, \ldots, x_{\ell-1}, x_1\right)$. 如果一个元组可以通过有限次数的循环移位从另一个元组得到,则称两个元组等价;很容 易看出这是一个等价关系,每个等价类都有大小划分 $\ell$, 所以是 1 或 $\ell$. 所以, $S_{\ell}$ 是一致的, $\bmod \ell$, 到大小为 1 的类数。这个数字只是
你不能在数学模式下使用 “宏参数字符#”
因此,模 $\ell$
$$
1+\left(\frac{\ell}{p}\right) \equiv 1+(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{\ell-1}{2}}\left(\frac{p}{\ell}\right)
$$
减 1 两边乘以 $\left(\frac{p}{\ell}\right)$ ,我们获得
$$
\left(\frac{p}{\ell}\right)\left(\frac{\ell}{p}\right) \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{\ell-1}{2}}
$$

数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考

数学代写|解析数论代写Analytic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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