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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MA2041 The Projection Theorem

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Projection Theorem

We have seen that if $\mathrm{S}$ is a subspace of an inner product space $V$, then $S \cap S^{\perp}={\mathbf{0}}$. This raises the question of whether or not the orthogonal complement of a subspace $S$ is a (vector space) complement of $S$, that is, whether or not $\mathrm{V}=\mathrm{S} \oplus \mathrm{S}^{\perp}$.

If $\mathrm{S}$ is a finite dimensional subspace of $\mathrm{V}$, the answer is yes, but for infinite dimensional subspaces, $S$ must have the topological property of being complete. Hence, in accordance with our goals in this chapter, we will postpone a discussion of the general case to Chapter 13, contenting ourselves here with an example to show that, in general, $\mathrm{V} \neq \mathrm{S} \oplus \mathrm{S}^{\perp}$.

Example 9.5 As in Example 9.4, let $\mathrm{V}=\ell^2$, and let $\mathrm{S}$ be the subspace spanned by the vectors
$$\mathbf{e}_{\mathrm{i}}=(0, \ldots, 0,1,0 \ldots)$$
where $\mathbf{e}_i$ has a 1 in the ith coordinate, and 0 s elsewhere. Thus, $S$ is the subspace of all sequences in $\ell^2$ that have finite support, that is, have only a finite number of nonzero terms.

Now, if $\mathbf{x}=\left(\mathrm{x}{\mathrm{n}}\right) \in \mathrm{S}^{\perp}$, then $\mathrm{x}{\mathrm{i}}=\left\langle\mathbf{x}, \mathbf{e}_{\mathrm{i}}\right\rangle=0$ for all $\mathrm{i}$, and so $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Therefore, $S^{\perp}={\mathbf{0}}$, and
$$\mathrm{S} \oplus \mathrm{S}^{\perp}=\mathrm{S} \neq \ell^2$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Gram-Schmidt Orthogonalization Process

Given a linearly independent sequence $\mathscr{B}=\left(\mathbf{v}1, \mathbf{v}_2, \ldots\right)$ in an inner product space $\mathrm{V}$, we can easily construct an orthogonal sequence $O=$ $\left(u_1, u_2, \ldots\right)$ in $V$, with the property that $$\operatorname{span}\left{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}{\mathbf{k}}\right}=\operatorname{span}\left{\mathbf{v}1, \ldots, \mathbf{v}{\mathbf{k}}\right}$$
for all $k$. The following construction is known as the Gram-Schmidt orthogonalization process.

The first step is to let $u_1=v_1$. Next, we search for a vector $\mathbf{u}_2$ of the form $\mathbf{u}_2=\mathbf{v}_2+r_1 \mathbf{u}_1$ for which $\left\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle=0$, that is, for which
$$0=\left\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}_2+r_1 \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle+\mathrm{r}_1\left\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1\right\rangle$$
or, equivalently
$$\mathrm{r}_1=-\frac{\left\langle\mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle}{\left\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1\right\rangle}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Projection Theorem

(向 量空间) 的补码 $S$ ，即是否 $\mathrm{V}=\mathrm{S} \oplus \mathrm{S}^{\perp}$.

$$\mathbf{e}i=(0, \ldots, 0,1,0 \ldots)$$ 在哪里 $\mathrm{e}_i$ 第 $\mathrm{i}$ 个坐标为 1 ，其他位置为 0 。 因此， $S$ 是所有序列的子空间 $\ell^2$ 具有有限支持，即只有有限数量的非 零项。 现在，如果 $\mathrm{x}=(\mathrm{xn}) \in \mathrm{S}^{\perp}$ ，然后 $\mathrm{xi}=\left\langle\mathbf{x}, \mathbf{e}{\mathrm{i}}\right\rangle=0$ 对全部i，所以 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. 所以， $S^{\perp}=\mathbf{0}$ ，和
$$\mathrm{S} \oplus \mathrm{S}^{\perp}=\mathrm{S} \neq \ell^2$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Gram-Schmidt Orthogonalization Process

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$0=\left\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}_2+r_1 \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle+\mathrm{r}_1\left\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1\right\rangle$$

$$\mathrm{r}_1=-\frac{\left\langle\mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\right\rangle}{\left\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1\right\rangle}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。